📝 题目
7．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $z=0, z=y, y=1$ 以及抛物柱面 $y=x^{2}$ 所围成的闭区域．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求计算三重积分 $$ \iiint_{\Omega} x z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z $$ 其中区域 $\Omega$ 由以下曲面围成： - 平面 $z=0$（底面） - 平面 $z=y$（顶面） - 平面 $y=1$（侧面） - 抛物柱面 $y=x^2$（侧面）
首先分析积分区域在 $xy$ 平面上的投影。 由 $y = x^2$ 和 $y=1$ 确定 $x$ 的范围： $$ x^2 \le y \le 1,\quad -1 \le x \le 1 $$ 而 $z$ 的范围由 $z=0$ 到 $z=y$。
因此积分可以化为累次积分： $$ \iiint_{\Omega} x z \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=x^{2}}^{1} \int_{z=0}^{y} x z \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x $$
先对 $z$ 积分： $$ \int_{z=0}^{y} x z \, \mathrm{d}z = x \cdot \frac{z^2}{2}\Big|_{0}^{y} = x \cdot \frac{y^2}{2} $$
于是积分变为： $$ \int_{x=-1}^{1} \int_{y=x^{2}}^{1} \frac{x y^{2}}{2} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x $$
再对 $y$ 积分： $$ \int_{y=x^{2}}^{1} \frac{x y^{2}}{2} \, \mathrm{d}y = \frac{x}{2} \cdot \frac{y^{3}}{3} \Big|_{x^{2}}^{1} = \frac{x}{6} \left(1 - (x^{2})^{3}\right) = \frac{x}{6} (1 - x^{6}) $$
最后对 $x$ 积分： $$ \int_{x=-1}^{1} \frac{x}{6} (1 - x^{6}) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{6} \int_{-1}^{1} (x - x^{7}) \, \mathrm{d}x $$
由于 $x$ 和 $x^{7}$ 都是奇函数，在对称区间 $[-1,1]$ 上积分为零，因此结果为： $$ \frac{1}{6} \cdot 0 = 0 $$
因此， $$ \boxed{0} $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及三重积分化为累次积分，对称性简化计算，属于基础但需细心判断区域形状。）