📝 题目
8．计算 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 是由锥面 $z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与平面 $z=h(R\gt 0, h\gt 0)$ 所围成的闭区域．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们计算三重积分 $$ \iiint_{\Omega} z \, dx\,dy\,dz $$ 其中区域 $\Omega$ 是由锥面 $z = \frac{h}{R}\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z = h$ 所围成的闭区域，且 $R>0, h>0$。
**第一步：确定积分区域** 锥面顶点在原点，开口向上，在高度 $z = h$ 处，截面半径满足 $$ h = \frac{h}{R}\sqrt{x^2+y^2} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^2+y^2} = R $$ 因此区域 $\Omega$ 是： $$ 0 \le z \le h,\quad 0 \le \rho \le \frac{R}{h}z $$ 其中 $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$。
**第二步：采用柱坐标** 令 $$ x = \rho\cos\theta,\quad y = \rho\sin\theta,\quad z = z $$ 体积元 $dx\,dy\,dz = \rho\,d\rho\,d\theta\,dz$。 积分变为 $$ \iiint_{\Omega} z \,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{z=0}^{h} \int_{\rho=0}^{\frac{R}{h}z} z \cdot \rho \, d\rho \, dz \, d\theta $$
**第三步：逐次积分** 先对 $\rho$ 积分： $$ \int_{\rho=0}^{\frac{R}{h}z} \rho\,d\rho = \frac{1}{2}\left(\frac{R}{h}z\right)^2 = \frac{R^2}{2h^2}z^2 $$ 于是积分变为 $$ \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta \int_{z=0}^{h} z \cdot \frac{R^2}{2h^2}z^2 \, dz = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2h^2} \int_{0}^{h} z^3 \, dz $$
再对 $z$ 积分： $$ \int_{0}^{h} z^3\,dz = \frac{h^4}{4} $$
**第四步：得到结果** $$ \iiint_{\Omega} z \,dx\,dy\,dz = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2h^2} \cdot \frac{h^4}{4} = \frac{\pi R^2 h^2}{4} $$
因此最终答案为 $$ \boxed{\dfrac{\pi R^{2} h^{2}}{4}} $$
难度：★★☆☆☆