📝 题目
3．如果三重积分 $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 的被积函数 $f(x, y, z)$ 是三个函数 $f_{1}(x), f_{2}(y), f_{3}(z)$ 的乘积，即 $f(x, y, z)=f_{1}(x) f_{2}(y) f_{3}(z)$ ，积分区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d, l \leqslant z \leqslant m\}$ ，证明这个三重积分等于三个定积分的乘积，即
$$ \displaystyle{\iiint_{\Omega} f_{1}(x) f_{2}(y) f_{3}(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{c}^{d} f_{2}(y) \mathrm{d} y \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_{3}(z) \mathrm{d} z . $$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知积分区域 $\Omega$ 是长方体： $$ \Omega = \{(x, y, z) \mid a \le x \le b,\; c \le y \le d,\; l \le z \le m\} $$ 被积函数可分离为 $$ f(x, y, z) = f_1(x) f_2(y) f_3(z) $$ 于是三重积分可写为累次积分形式： $$ \displaystyle{\iiint}_{\Omega} f_1(x) f_2(y) f_3(z) \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \displaystyle{\int}_{a}^{b} \displaystyle{\int}_{c}^{d} \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_1(x) f_2(y) f_3(z) \, \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$ 由于 $f_1(x)$ 与变量 $y, z$ 无关，$f_2(y)$ 与 $x, z$ 无关，$f_3(z)$ 与 $x, y$ 无关，我们可以逐层分离积分：
先对 $z$ 积分： $$ \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_1(x) f_2(y) f_3(z) \, \mathrm{d}z = f_1(x) f_2(y) \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_3(z) \, \mathrm{d}z $$ 再对 $y$ 积分： $$ \displaystyle{\int}_{c}^{d} \left[ f_1(x) f_2(y) \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_3(z) \, \mathrm{d}z \right] \mathrm{d}y = f_1(x) \left( \displaystyle{\int}_{c}^{d} f_2(y) \, \mathrm{d}y \right) \left( \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_3(z) \, \mathrm{d}z \right) $$ 最后对 $x$ 积分： $$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} f_1(x) \left( \displaystyle{\int}_{c}^{d} f_2(y) \, \mathrm{d}y \right) \left( \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_3(z) \, \mathrm{d}z \right) \mathrm{d}x = \left( \displaystyle{\int}_{a}^{b} f_1(x) \, \mathrm{d}x \right) \left( \displaystyle{\int}_{c}^{d} f_2(y) \, \mathrm{d}y \right) \left( \displaystyle{\int}_{l}^{m} f_3(z) \, \mathrm{d}z \right) $$ 因此原三重积分等于三个定积分的乘积，证毕。
难度：★☆☆☆☆