📝 题目
7．利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）$I=\displaystyle{\iint}_{D} x y(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{D} \sin ^{2} x \sin ^{2} y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \pi, 0 \leqslant y \leqslant \pi\}$ ； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ； （4）$I=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+4 y^{2}+9\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 被积函数 $f(x,y)=xy(x+y)$ 在闭区域 $D=[0,1]\times[0,1]$ 上连续，因此可用二重积分估值性质： $$ m \cdot S \le I \le M \cdot S $$ 其中 $S$ 为区域面积，这里 $S=1$；$m$ 和 $M$ 分别为 $f$ 在 $D$ 上的最小值和最大值。
在 $D$ 上，$x,y\in[0,1]$，故 $f(x,y)=x^2y+xy^2\ge 0$，且当 $x=0$ 或 $y=0$ 时取最小值 $m=0$。 最大值出现在边界或内部极值点。令 $$ \frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^2=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+2xy=0 $$ 在 $(0,0)$ 处为零，但边界上考察：在 $x=1,y=1$ 处 $f=2$，在 $(1,0)$ 或 $(0,1)$ 处为0，故最大值 $M=2$。 因此 $$ 0 \le I \le 2. $$
**（2）** 区域 $D=[0,\pi]\times[0,\pi]$，面积 $S=\pi^2$。 被积函数 $f(x,y)=\sin^2 x \sin^2 y$，取值范围： $$ 0 \le \sin^2 x \le 1,\quad 0 \le \sin^2 y \le 1 $$ 所以 $0 \le f(x,y) \le 1$。最小值 $m=0$（在边界或 $\sin x=0$ 或 $\sin y=0$ 处），最大值 $M=1$（当 $\sin^2 x=1,\sin^2 y=1$，即 $x=\pi/2,y=\pi/2$ 时）。 因此 $$ 0 \le I \le \pi^2. $$
**（3）** 区域 $D=[0,1]\times[0,2]$，面积 $S=2$。 被积函数 $f(x,y)=x+y+1$ 是线性函数，在矩形闭区域上最小值在 $(0,0)$ 处：$m=1$，最大值在 $(1,2)$ 处：$M=1+1+2=4$。 因此 $$ 1 \times 2 \le I \le 4 \times 2 \quad\Rightarrow\quad 2 \le I \le 8. $$
**（4）** 区域 $D: x^2+y^2 \le 4$，面积 $S=4\pi$。 被积函数 $f(x,y)=x^2+4y^2+9$。在圆盘上，$x^2+4y^2$ 的最小值出现在 $(0,0)$：值为0，故 $m=9$。 最大值出现在边界上，约束 $x^2+y^2=4$，则 $$ x^2+4y^2 = x^2+4(4-x^2)=16-3x^2 $$ 当 $x=0$ 时取最大值16，此时 $y=\pm 2$，故 $M=16+9=25$。 因此 $$ 9 \times 4\pi \le I \le 25 \times 4\pi \quad\Rightarrow\quad 36\pi \le I \le 100\pi. $$
难度：★★☆☆☆