📝 题目
6．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}(2+y \cos x+x y \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要计算二重积分 $$ \iint_{D}(2+y \cos x+x y \sin y) \, \mathrm{d}\sigma, $$ 其中区域 $D$ 是单位圆盘 $x^2 + y^2 \le 1$。
**第一步：拆分为三个积分** 利用积分的线性性质： $$ \iint_{D} 2 \, \mathrm{d}\sigma + \iint_{D} y \cos x \, \mathrm{d}\sigma + \iint_{D} x y \sin y \, \mathrm{d}\sigma. $$
**第二步：计算第一个积分** $$ \iint_{D} 2 \, \mathrm{d}\sigma = 2 \cdot \text{Area}(D) = 2 \cdot \pi \cdot 1^2 = 2\pi. $$
**第三步：分析第二个积分** 考虑积分 $$ I_2 = \iint_{D} y \cos x \, \mathrm{d}\sigma. $$ 区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，而被积函数 $y \cos x$ 关于 $y$ 是奇函数（因为 $y$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数，乘积关于 $y$ 为奇）。因此由对称性： $$ I_2 = 0. $$
**第四步：分析第三个积分** 考虑 $$ I_3 = \iint_{D} x y \sin y \, \mathrm{d}\sigma. $$ 区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，而被积函数 $x y \sin y$ 中，$x$ 是奇函数，其余部分 $y\sin y$ 关于 $x$ 是偶函数（因为不含 $x$），所以整体关于 $x$ 是奇函数。因此由对称性： $$ I_3 = 0. $$
**第五步：求和** 原积分结果为： $$ 2\pi + 0 + 0 = 2\pi. $$
因此： $$ \boxed{2\pi} $$
难度评级：★★☆☆☆ （主要考察对称性化简，计算量小，但需理解奇偶性在二重积分中的应用）