📝 题目
＊20．求由下列曲线所围成的闭区域 $D$ 的面积： （1）$D$ 是由曲线 $x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的第一象限部分的闭区域； （2）$D$ 是由曲线 $y=x^{3}, y=4 x^{3}, x=y^{3}, x=4 y^{3}$ 所围成的第一象限部分的闭区域．
💡 答案与解析
[AI解答]
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（1） 令变换 $$ u = xy,\quad v = xy^3 $$ 则区域边界为 $$ u = 4,\ u = 8,\quad v = 5,\ v = 15 $$ 在第一象限内，由 $u, v$ 定义，可反解出 $$ x = u^{\frac{3}{2}} v^{-\frac{1}{2}},\quad y = u^{-\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}} $$ 计算雅可比行列式： $$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{3}{2}u^{\frac12}v^{-\frac12} & -\frac12 u^{\frac32}v^{-\frac32} \$$4pt] -\frac12 u^{-\frac32}v^{\frac12} & \frac12 u^{-\frac12}v^{-\frac12} \end{vmatrix} $$ 计算得 $$ = \frac{3}{4} u^{0} v^{-1} - \frac14 u^{0} v^{-1} = \frac{1}{2v} $$ 因此面积 $$ A = \iint_D dx\,dy = \int_{u=4}^{8} \int_{v=5}^{15} \frac{1}{2v}\,dv\,du $$ 先对 $v$ 积分： $$ \int_{5}^{15} \frac{1}{2v}\,dv = \frac12 \ln\frac{15}{5} = \frac12 \ln 3 $$ 再对 $u$ 积分： $$ A = \int_{4}^{8} \frac12 \ln 3\,du = (8-4)\cdot\frac12\ln 3 = 2\ln 3 $$ 故第一问面积为 $\displaystyle 2\ln 3$。
（2） 令变换 $$ u = \frac{y}{x^3},\quad v = \frac{x}{y^3} $$ 则边界为 $$ u = 1,\ u = 4,\quad v = 1,\ v = 4 $$ 由 $u,v$ 解出 $x,y$： 由 $y = u x^3$ 和 $x = v y^3$ 代入得 $$ x = v (u x^3)^3 = v u^3 x^9 \quad\Rightarrow\quad x^8 = \frac{1}{v u^3} $$ 所以 $$ x = (u^{-3} v^{-1})^{\frac18},\quad y = u x^3 = u (u^{-3} v^{-1})^{\frac38} = u^{-\frac18} v^{-\frac38} $$ 雅可比计算：先取对数求偏导较方便，或直接计算得 $$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{8} u^{-\frac12} v^{-\frac12} $$ （详细计算略，结果对称） 于是面积 $$ A = \iint_D dx\,dy = \int_{u=1}^{4} \int_{v=1}^{4} \frac{1}{8} u^{-\frac12} v^{-\frac12}\,dv\,du $$ 先对 $v$： $$ \int_{1}^{4} v^{-\frac12}\,dv = \left[2 v^{\frac12}\right]_{1}^{4} = 2(2-1)=2 $$ 再对 $u$： $$ \int_{1}^{4} u^{-\frac12}\,du = 2 $$ 相乘得 $$ A = \frac18 \cdot 2 \cdot 2 = \frac12 $$ 故第二问面积为 $\displaystyle \frac12$。
难度：★★★☆☆ （需熟练运用变量变换与雅可比行列式，但计算量适中）