📝 题目
11．选用适当的坐标计算下列三重积分： （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 为柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $z=1, z=0, x=0, y=0$ 所围成的在第 I 卦限内的闭区域； ＊（2） $\displaystyle{\iiint} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $4 z^{2}=25\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及平面 $z=5$ 所围成的闭区域； ＊（4） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid 0\lt a \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leqslant A, z \geqslant 0\right\}$ ； （5） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由抛物面 $x=y^{2}+z^{2}$ 与圆锥面 $x=2-\sqrt{y^{2}+z^{2}}$ 所围成的闭区域．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细解答过程。
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### （1） 被积函数：$xy$，区域 $\Omega$：柱面 $x^2+y^2=1$，平面 $z=0, z=1$，以及 $x=0, y=0$ 在第一卦限。 采用柱坐标： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,\quad \mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z $$ 区域：$0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$，$0 \le z \le 1$。 积分： $$ \iiint_\Omega xy\,\mathrm{d}V = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} (r\cos\theta)(r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}r $$ $$ = \int_{0}^{1} r^3\,\mathrm{d}r \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} \mathrm{d}z $$ $$ = \left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1} \cdot \frac12 \cdot 1 = \frac14 \cdot \frac12 = \frac18 $$ 难度：★★☆☆☆
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### （2） 被积函数：$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，区域：球面 $x^2+y^2+z^2 = z$，即 $$ x^2+y^2+\left(z-\frac12\right)^2 = \left(\frac12\right)^2 $$ 采用球坐标： $$ x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi $$ 球面方程化为 $\rho = \cos\varphi$，且 $\varphi \in [0,\frac{\pi}{2}]$（因为 $z\ge 0$ 区域）。 积分： $$ \iiint_\Omega \rho \,\mathrm{d}V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos\varphi} \rho \cdot \rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta $$ $$ = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \left[\frac{\rho^4}{4}\right]_{0}^{\cos\varphi} \mathrm{d}\varphi = 2\pi \cdot \frac14 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \cos^4\varphi\,\mathrm{d}\varphi $$ 令 $u = \cos\varphi$，$\mathrm{d}u = -\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi$，则 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos^4\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \int_{1}^{0} -u^4\,\mathrm{d}u = \int_{0}^{1} u^4\,\mathrm{d}u = \frac15 $$ 所以结果为： $$ 2\pi \cdot \frac14 \cdot \frac15 = \frac{\pi}{10} $$ 难度：★★★☆☆
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### （3） 被积函数：$x^2+y^2$，区域：曲面 $4z^2 = 25(x^2+y^2)$ 及平面 $z=5$。 采用柱坐标：曲面为 $4z^2 = 25 r^2$，即 $r = \frac{2}{5}z$。 区域：$0\le z \le 5$，$0 \le r \le \frac{2}{5}z$，$\theta\in[0,2\pi]$。 积分： $$ \iiint_\Omega (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5}\int_{0}^{\frac{2}{5}z} r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta $$ $$ = 2\pi \int_{0}^{5} \left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{\frac{2}{5}z} \mathrm{d}z = 2\pi \int_{0}^{5} \frac{1}{4}\left(\frac{16}{625}z^4\right)\mathrm{d}z = \frac{8\pi}{625} \int_{0}^{5} z^4\,\mathrm{d}z $$ $$ = \frac{8\pi}{625} \cdot \frac{5^5}{5} = \frac{8\pi}{625} \cdot 625 = 8\pi $$ 难度：★★★☆☆
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### （4） 区域：$0 < a \le \sqrt{x^2+y^2+z^2} \le A$，且 $z\ge 0$，即上半球壳。 采用球坐标： $$ \iiint_\Omega (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{a}^{A} (\rho^2\sin^2\varphi) \cdot \rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta $$ $$ = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\varphi\,\mathrm{d}\varphi \int_{a}^{A} \rho^4\,\mathrm{d}\rho $$ 其中 $$ \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi,\quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^2\varphi)\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \left[-\cos\varphi + \frac{\cos^3\varphi}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3} $$ $$ \int_{a}^{A} \rho^4\,\mathrm{d}\rho = \frac{A^5 - a^5}{5} $$ 结果为： $$ 2\pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{A^5 - a^5}{5} = \frac{4\pi}{15}(A^5 - a^5) $$ 难度：★★★☆☆
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### （5） 区域：抛物面 $x = y^2+z^2$ 与圆锥面 $x = 2 - \sqrt{y^2+z^2}$ 围成。 令 $r = \sqrt{y^2+z^2}$，则两曲面为 $x = r^2$ 与 $x = 2 - r$。 交线：$r^2 = 2 - r \Rightarrow r^2 + r - 2 = 0 \Rightarrow r = 1$（取正），此时 $x=1$。 区域在 $r$ 从 0 到 1，对每个 $r$，$x$ 从 $r^2$ 到 $2-r$。 采用柱坐标（以 $y,z$ 为极坐标平面）： $$ \iiint_\Omega (y^2+z^2)\,\mathrm{d}V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^2}^{2-r} r^2 \cdot r\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta $$ $$ = 2\pi \int_{0}^{1} r^3 \left[(2-r) - r^2\right] \mathrm{d}r = 2\pi \int_{0}^{1} r^3(2 - r - r^2)\,\mathrm{d}r $$ $$ = 2\pi \int_{0}^{1} (2r^3 - r^4 - r^5)\,\mathrm{d}r = 2\pi \left[ \frac{2r^4}{4} - \frac{r^5}{5} - \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{1} $$ $$ = 2\pi \left( \frac12 - \frac15 - \frac16 \right) = 2\pi \cdot \frac{15 - 6 - 5}{30} = 2\pi \cdot \frac{4}{30} = \frac{4\pi}{15} $$ 难度：★★★★☆
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**最终答案汇总** (1) $\frac18$ (2) $\frac{\pi}{10}$ (3) $8\pi$ (4) $\frac{4\pi}{15}(A^5 - a^5)$ (5) $\frac{4\pi}{15}$
难度评级： (