📝 题目
8．计算由四个平面 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及 $2 x+3 y+z=6$ 截得的立体
的体积．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求由四个平面 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 所围成的柱体，被平面 $z=0$ 及 $2x+3y+z=6$ 截得的立体体积。 该立体在 $xy$ 平面上的投影区域为 $$ D = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\; 0 \le y \le 1\}. $$ 在区域 $D$ 内，顶部曲面为 $z = 6 - 2x - 3y$，底部为 $z=0$。 因此体积为 $$ V = \iint\limits_{D} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$ 先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分： $$ V = \int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{1} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x. $$ 计算内层积分： $$ \int_{0}^{1} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}y = \left[ (6 - 2x)y - \frac{3}{2}y^{2} \right]_{0}^{1} = (6 - 2x) \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1^{2} = 6 - 2x - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - 2x. $$ 再对 $x$ 积分： $$ V = \int_{0}^{1} \left( \frac{9}{2} - 2x \right) \mathrm{d}x = \left[ \frac{9}{2}x - x^{2} \right]_{0}^{1} = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}. $$ 因此所求体积为 $\displaystyle \frac{7}{2}$。
难度：★☆☆☆☆