📝 题目
2．利用对弧长的曲线积分的定义证明性质 3 ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**性质3**：若曲线 $L$ 由 $L_1$ 和 $L_2$ 两段光滑曲线首尾相接而成，则对弧长的曲线积分满足： $$ \int_{L} f(x,y) \, ds = \int_{L_1} f(x,y) \, ds + \int_{L_2} f(x,y) \, ds. $$
**证明**：
设曲线 $L$ 被分割为 $L_1$ 与 $L_2$，且 $L_1$ 的起点为 $A$，终点为 $B$；$L_2$ 的起点为 $B$，终点为 $C$。将 $L_1$ 任意分割成 $n_1$ 个小弧段，$L_2$ 任意分割成 $n_2$ 个小弧段，则 $L$ 被分割成 $n = n_1 + n_2$ 个小弧段。
根据对弧长的曲线积分的定义： $$ \int_{L} f(x,y) \, ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i, $$ 其中 $\lambda$ 为所有小弧段长度的最大值，$(\xi_i, \eta_i)$ 为第 $i$ 个小弧段上任取的一点，$\Delta s_i$ 为第 $i$ 个小弧段的弧长。
将和式按 $L_1$ 和 $L_2$ 的弧段分开： $$ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i = \sum_{i=1}^{n_1} f(\xi_i^{(1)}, \eta_i^{(1)}) \Delta s_i^{(1)} + \sum_{j=1}^{n_2} f(\xi_j^{(2)}, \eta_j^{(2)}) \Delta s_j^{(2)}. $$
令所有小弧段的最大长度 $\lambda \to 0$，则对 $L_1$ 和 $L_2$ 分别有： $$ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n_1} f(\xi_i^{(1)}, \eta_i^{(1)}) \Delta s_i^{(1)} = \int_{L_1} f(x,y) \, ds, $$ $$ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{j=1}^{n_2} f(\xi_j^{(2)}, \eta_j^{(2)}) \Delta s_j^{(2)} = \int_{L_2} f(x,y) \, ds. $$
因此， $$ \int_{L} f(x,y) \, ds = \int_{L_1} f(x,y) \, ds + \int_{L_2} f(x,y) \, ds. $$
证毕。
难度：★☆☆☆☆