第11章

1．设在 $x O y$ 面内有一分布着质量的曲线弧 $L$ ，在点 $(x, y)$ 处它的线密度为 $\mu(x, y)$ ．用对弧长的曲线积分分别表达： （1）这曲线弧对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量 $I_{x}, I_{y}$ ； （2）这曲线弧的质心坐标 $\bar{x}, \bar{y}$ ．

2．利用对弧长的曲线积分的定义证明性质 3 ．

3．计算下列对弧长的曲线积分： （1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=a \cos t, y=a \sin t(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为连接 $(1,0)$ 及 $(0,1)$ 两点的直线段； （3）$\displaystyle{\oint}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为由直线 $y=x$ 及抛物线 $y=x^{2}$ 所围成的区域的整个边界； （4）$\displaystyle{\oint}_{L} \mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； （5） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=\mathrm{e}^{t} \cos t, y=\mathrm{e}^{t} \sin t, z=\mathrm{e}^{t}$ 上相应于 $t$ 从 0 变到 2 的这段弧； （6） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x^{2} y z \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为折线 $A B C D$ ，这里 $A, B, C, D$ 依次为点 $(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为摆线的一拱 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为曲线 $x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t) \quad(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ．

4．求半径为 $a$ 、圆心角为 $2 \varphi$ 的均匀圆弧（线密度 $\mu=1$ ）的质心．

5．设螺旋形弹簧一圈的方程为 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=k t$ ，其中 $0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ，它的线密度 $\rho(x, y, z)= x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ．求： （1）它关于 $z$ 轴的转动惯量 $I_{z}$ ； （2）它的质心．

1．设 $L$ 为 $x O y$ 面内直线 $x=a$ 上的一段，证明： $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=0$ ．

2．设 $L$ 为 $x O y$ 面内 $x$ 轴上从点 $(a, 0)$ 到点 $(b, 0)$ 的一段直线，证明： $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} P(x, 0) \mathrm{d} x$ ．

3．计算下列对坐标的曲线积分： （1） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,4)$ 的一段弧； （2）$\displaystyle{\oint}_{L} x y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为圆周 $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2} \quad(a\gt 0)$ 及 $x$ 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （3） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=R \cos t, y=R \sin t$ 上对应 $t$ 从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的一段弧； （4）$\displaystyle{\oint}_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$（按逆时针方向绕行）； （5） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x^{2} \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=k \theta, y=a \cos \theta, z=a \sin \theta$ 上对应 $\theta$ 从 0 到 $\pi$ 的一段弧； （6） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+(x+y-1) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是从点 $(1,1,1)$ 到点 $(2,3,4)$ 的一段直线； （7）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} \mathrm{d} x-\mathrm{d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为有向闭折线 $A B C A$ ，这里的 $A, B, C$ 依次为点 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧．

4．计算 $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是 （1）拋物线 $y^{2}=x$ 上从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的一段弧； （2）从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的直线段； （3）先沿直线从点 $(1,1)$ 到点 $(1,2)$ ，然后再沿直线到点 $(4,2)$ 的折线； （4）曲线 $x=2 t^{2}+t+1, y=t^{2}+1$ 上从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的一段弧．

5．一力场由沿横轴正方向的恒力 $F$ 所构成。试求当一质量为 $m$ 的质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功．

6．设 $z$ 轴与重力的方向一致，求质量为 $m$ 的质点从位置 $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 沿直线移到 $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 时重力所做的功．

7．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 化成对弧长的曲线积分，其中 $L$ 为 （1）在 $x O y$ 面内沿直线从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ； （2）沿抛物线 $y=x^{2}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ； （3）沿上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ．

8．设 $\Gamma$ 为曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上相应于 $t$ 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+$ $Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 化成对弧长的曲线积分．

9．设曲线 $\Gamma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴的正向看取逆时针方向， $$ I=\displaystyle{\oint}_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z $$ 试利用两类曲线积分之间的关系证明：$|I| \leqslant 2 \pi a^{2}$ ．

1．计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(2 x y-x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是由抛物线 $y=x^{2}$ 和 $y^{2}=x$ 所围成的区域的正向边界曲线； （2）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}-x y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是四个顶点分别为 $(0,0),(2,0),(2,2)$ 和 $(0,2)$ 的正方形区域的正向边界．

10．设有一变力在坐标轴上的投影为 $X=x^{2}+y^{2}, Y=2 x y-8$ ，这变力确定了一个力场．证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关．

12．确定常数 $\lambda$ ，使在右半平面 $x\gt 0$ 上的向量 $\boldsymbol{A}(x, y)=2 x y\left(x^{4}+y^{2}\right)^{\lambda} \boldsymbol{i}-x^{2}\left(x^{4}+y^{2}\right)^{\lambda} \boldsymbol{j}$ 为某二元函数 $u(x, y)$ 的梯度，并求 $u(x, y)$ ．

2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）星形线 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$ ； （2）椭圆 $9 x^{2}+16 y^{2}=144$ ； （3）圆 $x^{2}+y^{2}=2 a x$ ．

3．计算曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ，其中 $L$ 为圆周 $(x-1)^{2}+y^{2}=2, L$ 的方向为逆时针方向．

4．确定正向闭曲线 $C$ ，使曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{C}\left(x+\frac{y^{3}}{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y+x-\frac{2}{3} x^{3}\right) \mathrm{d} y$ 达到最大值．

5．设 $n$ 边形的 $n$ 个顶点按逆时针方向依次为 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, M_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．试利用曲线积分证明此 $n$ 边形的面积为 $$ A=\frac{1}{2}\left[\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)+\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}\right)+\cdots+\left(x_{n-1} y_{n}-x_{n} y_{n-1}\right)+\left(x_{n} y_{1}-x_{1} y_{n}\right)\right] . $$

6．证明下列曲线积分在整个 $x O y$ 面内与路径无关，并计算积分值： （1） $\displaystyle{\int}_{(1,1)}^{(2,3)}(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{(1,2)}^{(3,4)}\left(6 x y^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y-3 x y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{(1,0)}^{(2,1)}\left(2 x y-y^{4}+3\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x y^{3}\right) \mathrm{d} y$ ．

7．利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）$\displaystyle{\oint}_{L}(2 x-y+4) \mathrm{d} x+(5 y+3 x-6) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是三顶点分别为 $(0,0),(3,0)$ 和 $(3,2)$ 的三角形正向边界； （2）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2} y \cos x+2 x y \sin x-y^{2} \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \sin x-2 y \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为正向星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a\gt 0)$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为在抛物线 $2 x=\pi y^{2}$ 上由点 $(0,0)$ 到 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段弧； （4） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-\left(x+\sin ^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是在圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 上由点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧．

8．设有界闭区域 $D$ 由 $x O y$ 面上的分段光滑曲线 $L$ 所围成，函数 $u=u(x, y)$ 在 $D$ 上具有连续的二 阶偏导数，$\frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u(x, y)$ 沿 $L$ 的外法向量的方向导数，证明 $$ \displaystyle{\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\displaystyle{\iint}_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma, $$ 其中 $L$ 取正向．

9．验证下列 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 在整个 $x O y$ 面内是某一函数 $u(x, y)$ 的全微分，并求这样的一个 $u(x, y)$ ： （1）$(x+2 y) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ ； （2） $2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ； （3） $4 \sin x \sin 3 y \cos x \mathrm{~d} x-3 \cos 3 y \cos 2 x \mathrm{~d} y$ ； （4）$\left(3 x^{2} y+8 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+8 x^{2} y+12 y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ； （5）$\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ ．

＊11．判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解． （1）$\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y+4 y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$\left(a^{2}-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x-(x+y)^{2} \mathrm{~d} y=0$（ $a$ 为常数）； （3） $\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y=0$ ； （4）$(x \cos y+\cos x) y^{\prime}-y \sin x+\sin y=0$ ； （5）$\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$y(x-2 y) \mathrm{d} x-x^{2} \mathrm{~d} y=0$ ； （7）$\left(1+\mathrm{e}^{2 \theta}\right) \mathrm{d} \rho+2 \rho \mathrm{e}^{2 \theta} \mathrm{~d} \theta=0$ ； （8）$\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x+x y \mathrm{~d} y=0$ ．

1．设有一分布着质量的曲面 $\Sigma$ ，在点 $(x, y, z)$ 处它的面密度为 $\mu(x, y, z)$ ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 $x$ 轴的转动惯量．

2．按对面积的曲面积分的定义证明公式 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\displaystyle{\iint}_{\Sigma_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} S+\displaystyle{\iint}_{\Sigma_{2}} f(x, y, z) \mathrm{d} S $$ 其中 $\Sigma$ 是由 $\Sigma_{1}$ 和 $\Sigma_{2}$ 组成的．

3．当 $\Sigma$ 是 $x O y$ 面内的一个闭区域时，曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 与二重积分有什么关系？

4．计算曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为抛物面 $z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在 $x O y$ 面上方的部分，$f(x, y, z)$分别如下： （1）$f(x, y, z)=1$ ； （2）$f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}$ ； （3）$f(x, y, z)=3 z$ ．

5．计算 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 是 （1）雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及平面 $z=1$ 所围成的区域的整个边界曲面； （2）雉面 $z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 被平面 $z=0$ 和 $z=3$ 所截得的部分．

6．计算下列对面积的曲面积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(z+2 x+\frac{4}{3} y\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第 I 卦限中的部分； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x y-2 x^{2}-x+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $2 x+2 y+z=6$ 在第 I 卦限中的部分； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 上 $z \geqslant h(0\lt h\lt a)$ 的部分； （4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $x^{2}+y^{2}=2 a x$ 所截得的有限部分．

7．求抛物面壳 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的质量，此壳的面密度为 $\mu=z$ ．

8．求面密度为 $\mu_{0}$ 的均匀半球壳 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0)$ 对于 $z$ 轴的转动惯量．

1．按对坐标的曲面积分的定义证明公式 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left[P_{1}(x, y, z) \pm P_{2}(x, y, z)\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} P_{1}(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z \pm \displaystyle{\iint}_{\Sigma} P_{2}(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z $$

2．当 $\Sigma$ 为 $x O y$ 面内的一个闭区域时，曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 与二重积分有什么关系？

3．计算下列对坐标的曲面积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 的下半部分的下侧； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\Sigma$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 被平面 $z=0$ 及 $z=3$ 所截得的在第 I 卦限内的部分的前侧； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}[f(x, y, z)+x] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[2 f(x, y, z)+y] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[f(x, y, z)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y, z)$ 为连续函数，$\Sigma$是平面 $x-y+z=1$ 在第 IV 卦限部分的上侧； （4）$\oiint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．

4．把对坐标的曲面积分 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 化成对面积的曲面积分，其中 （1）$\Sigma$ 是平面 $3 x+2 y+2 \sqrt{3} z=6$ 在第 I 卦限的部分的上侧； （2）$\Sigma$ 是抛物面 $z=8-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在 $x O y$ 面上方的部分的上侧．

5．计算 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}(3 z+1) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}, \\ x=0\end{array} \quad(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转曲面的左侧．

1．利用高斯公式计算曲面积分： （1）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a$ 所围成的立体的表面的外侧； ＊（2）$\oiint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的外侧； ＊（3）$\oiint_{\Sigma} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为上半球体 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$的表面的外侧； （4）$\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是界于 $z=0$ 和 $z=3$ 之间的圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ 的整个表面的 外侧； （5）$\oiint_{\Sigma} 4 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1$ 所围成的立方体的全表面的外侧．

4．设 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 是两个定义在闭区域 $\Omega$ 上的具有二阶连续偏导数的函数，$\frac{\partial u}{\partial n}, \frac{\partial v}{\partial n}$ 依次表示 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 沿 $\Sigma$ 的外法线方向的方向导数．证明： $$ \displaystyle{\iiint}_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\Sigma}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S, $$ 其中 $\Sigma$ 是空间闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面．这个公式叫做格林第二公式．

＊2．求下列向量 $\boldsymbol{A}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 流向指定侧的通量： （1） $\boldsymbol{A}=y z i+x z j+x y k, \Sigma$ 为圆柱 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}(0 \leqslant z \leqslant h)$ 的全表面，流向外侧； （2） $\boldsymbol{A}=(2 x-z) i+x^{2} y j-x z^{2} k, \Sigma$ 为立方体 $0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$ 的全表面，流向外侧； （3） $\boldsymbol{A}=(2 x+3 z) \boldsymbol{i}-(x z+y) \boldsymbol{j}+\left(y^{2}+2 z\right) \boldsymbol{k}, \boldsymbol{\Sigma}$ 是以点 $(3,-1,2)$ 为球心，半径 $R=3$ 的球面，流向外侧．

＊3．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 的散度： （1） $\boldsymbol{A}=\left(x^{2}+y z\right) \boldsymbol{i}+\left(y^{2}+x z\right) \boldsymbol{j}+\left(z^{2}+x y\right) \boldsymbol{k}$ ； （2）$A=\mathrm{e}^{x y} i+\cos (x y) j+\cos \left(x z^{2}\right) k$ ； （3）$A=y^{2} i+x y j+x z k$ ．

＊5．利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小等于该物体所排开的液体所受的重力．

1．试对曲面 $\Sigma: z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant 1, P=y^{2}, Q=x, R=z^{2}$ 验证斯托克斯公式．

＊2．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： （1）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x+y+z=0$ ，若从 $x$ 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向； （2）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为椭圆 $x^{2}+y^{2}=a^{2}, \frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1(a\gt 0, b\gt 0)$ ，若从 $x$ 轴正向看去，这椭圆取逆时针方向； （3）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} 3 y \mathrm{~d} x-x z \mathrm{~d} y+y z^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=2 z, z=2$ ，若从 $z$ 轴正向看去，这圆周取逆时针方向； （4）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} 2 y \mathrm{~d} x+3 x \mathrm{~d} y-z^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, z=0$ ，若从 $z$ 轴正向看去，这圆周取逆时针方向．

＊3．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 的旋度： （1）$A=(2 z-3 y) i+(3 x-z) j+(y-2 x) k$ ； （2）$A=(z+\sin y) i-(z-x \cos y) j$ ； （3）$A=x^{2} \sin y i+y^{2} \sin (x z) j+x y \sin (\cos z) k$ ．

＊4．利用斯托克斯公式把曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \mathrm{~d} S$ 化为曲线积分，并计算积分值，其中 $A, \Sigma$ 及 $n$分别如下： （1）$A=y^{2} i+x y j+x z k, \Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧，$n$ 是 $\Sigma$ 的单位法向量； （2）$A=(y-z) i+y z j-x z k, \Sigma$ 为立方体 $\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2,0 \leqslant z \leqslant 2\}$ 的表面外侧去掉 $x O y$面上的那个底面，$n$ 是 $\Sigma$ 的单位法向量． ${ }^{*}$ 5．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 沿闭曲线 $\Gamma$（从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 依逆时针方向）的环流量： （1）$A=-y i+x j+c k$（ $c$ 为常量），$\Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, z=0$ ； （2）$A=(x-z) i+\left(x^{3}+y z\right) j-3 x y^{2} k$ ，其中 $\Gamma$ 为圆周 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z=0$ ．

＊6．证明 $\operatorname{rot}(a+b)=\operatorname{rot} a+\operatorname{rot} b$ ．

＊7．设 $u=u(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} u)$ ．