📝 题目
＊11．判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解． （1）$\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y+4 y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$\left(a^{2}-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x-(x+y)^{2} \mathrm{~d} y=0$（ $a$ 为常数）； （3） $\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y=0$ ； （4）$(x \cos y+\cos x) y^{\prime}-y \sin x+\sin y=0$ ； （5）$\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$y(x-2 y) \mathrm{d} x-x^{2} \mathrm{~d} y=0$ ； （7）$\left(1+\mathrm{e}^{2 \theta}\right) \mathrm{d} \rho+2 \rho \mathrm{e}^{2 \theta} \mathrm{~d} \theta=0$ ； （8）$\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x+x y \mathrm{~d} y=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下依次判断每个方程是否为全微分方程，若是则求通解。
**（1）** 方程： $$ (3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^2)dy=0 $$ 设 $$ P(x,y)=3x^2+6xy^2,\quad Q(x,y)=6x^2y+4y^2 $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial P}{\partial y}=12xy,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=12xy $$ 二者相等，故为全微分方程。 求原函数 $u(x,y)$： $$ u(x,y)=\int P\,dx = \int (3x^2+6xy^2)\,dx = x^3+3x^2y^2+\phi(y) $$ 对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y}=6x^2y+\phi'(y) $$ 应与 $Q$ 相等： $$ 6x^2y+\phi'(y)=6x^2y+4y^2 \Rightarrow \phi'(y)=4y^2 \Rightarrow \phi(y)=\frac{4}{3}y^3 $$ 因此通解为 $$ x^3+3x^2y^2+\frac{4}{3}y^3=C $$
**（2）** 方程： $$ (a^2-2xy-y^2)dx-(x+y)^2dy=0 $$ 这里 $$ P=a^2-2xy-y^2,\quad Q=-(x+y)^2 $$ 计算： $$ \frac{\partial P}{\partial y}=-2x-2y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-2(x+y) $$ 相等，故为全微分方程。 求原函数： $$ u=\int P\,dx = a^2x - x^2y - xy^2 + \phi(y) $$ 对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y}=-x^2-2xy+\phi'(y) $$ 令其等于 $Q=-(x^2+2xy+y^2)$： $$ -x^2-2xy+\phi'(y) = -x^2-2xy-y^2 \Rightarrow \phi'(y)=-y^2 \Rightarrow \phi(y)=-\frac{y^3}{3} $$ 通解： $$ a^2x - x^2y - xy^2 - \frac{y^3}{3}=C $$
**（3）** 方程： $$ e^y dx + (xe^y-2y)dy=0 $$ $$ P=e^y,\quad Q=xe^y-2y $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y}=e^y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^y $$ 相等，为全微分方程。 求原函数： $$ u=\int P\,dx = xe^y+\phi(y) $$ 对 $y$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial y}=xe^y+\phi'(y)=xe^y-2y \Rightarrow \phi'(y)=-2y \Rightarrow \phi(y)=-y^2 $$ 通解： $$ xe^y - y^2 = C $$
**（4）** 方程： $$ (x\cos y+\cos x)y' - y\sin x+\sin y=0 $$ 改写为： $$ (-y\sin x+\sin y)dx + (x\cos y+\cos x)dy=0 $$ $$ P=-y\sin x+\sin y,\quad Q=x\cos y+\cos x $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y}=-\sin x+\cos y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\cos y-\sin x $$ 相等，为全微分方程。 求原函数： $$ u=\int P\,dx = y\cos x + x\sin y + \phi(y) $$ 对 $y$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial y}=\cos x + x\cos y + \phi'(y) $$ 令其等于 $Q=x\cos y+\cos x$，得 $\phi'(y)=0$，故 $\phi(y)=C$。 通解： $$ y\cos x + x\sin y = C $$
**（5）** 方程： $$ (x^2-y)dx - x\,dy=0 $$ $$ P=x^2-y,\quad Q=-x $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y}=-1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-1 $$ 相等，为全微分方程。 求原函数： $$ u=\int P\,dx = \frac{x^3}{3} - xy + \phi(y) $$ 对 $y$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial y}=-x+\phi'(y) = -x \Rightarrow \phi'(y)=0 $$ 通解： $$ \frac{x^3}{3} - xy = C $$
**（6）** 方程： $$ y(x-2y)dx - x^2 dy=0 $$ $$ P=xy-2y^2,\quad Q=-x^2 $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y}=x-4y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-2x $$ 不相等，故不是全微分方程。
**（7）** 方程： $$ (1+e^{2\theta})d\rho + 2\rho e^{2\theta}d\theta=0 $$ $$ P=1+e^{2\theta},\quad Q=2\rho e^{2\theta} $$ $$ \frac{\partial P}{\partial \theta}=2e^{2\theta},\quad \frac{\partial Q}{\partial \rho}=2e^{2\theta} $$ 相等，为全微分方程。 求原函数： $$ u=\int P\,d\rho = \rho(1+e^{2\theta})+\phi(\theta) $$ 对 $\theta$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial \theta}= \rho\cdot 2e^{2\theta}+\phi'(\theta)=2\rho e^{2\theta}+\phi'(\theta) $$ 令其等于 $Q=2\rho e^{2\theta}$，得 $\phi'(\theta)=0$。 通解： $$ \rho(1+e^{2\theta})=C $$
**（8）** 方程： $$ (x^2+y^2)dx + xy\,dy=0 $$ $$ P=x^2+y^2,\quad Q=xy $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=y $$ 不相等，故不是全微分方程。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考查全微分条件的判断与简单积分，计算量不大，但需细心。）