📝 题目
9．验证下列 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 在整个 $x O y$ 面内是某一函数 $u(x, y)$ 的全微分，并求这样的一个 $u(x, y)$ ： （1）$(x+2 y) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ ； （2） $2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ； （3） $4 \sin x \sin 3 y \cos x \mathrm{~d} x-3 \cos 3 y \cos 2 x \mathrm{~d} y$ ； （4）$\left(3 x^{2} y+8 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+8 x^{2} y+12 y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ； （5）$\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 给定 $$ P(x,y)=x+2y,\quad Q(x,y)=2x+y. $$ 先验证全微分条件： $$ \frac{\partial P}{\partial y}=2,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2, $$ 两者相等，故存在函数 $u(x,y)$ 使得 $$ \mathrm{d}u = P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y. $$ 求 $u$： 由 $\frac{\partial u}{\partial x}=x+2y$，对 $x$ 积分得 $$ u = \frac{x^2}{2}+2xy + \varphi(y). $$ 再由 $\frac{\partial u}{\partial y}=2x+\varphi'(y)=2x+y$，得 $$ \varphi'(y)=y \Rightarrow \varphi(y)=\frac{y^2}{2}+C. $$ 取 $C=0$，得 $$ u(x,y)=\frac{x^2}{2}+2xy+\frac{y^2}{2}. $$
**（2）** $$ P=2xy,\quad Q=x^2. $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y}=2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x, $$ 相等。由 $\frac{\partial u}{\partial x}=2xy$ 得 $$ u = x^2y + \varphi(y). $$ 由 $\frac{\partial u}{\partial y}=x^2+\varphi'(y)=x^2$ 得 $\varphi'(y)=0$，取 $\varphi=0$，则 $$ u(x,y)=x^2y. $$
**（3）** $$ P=4\sin x\sin 3y\cos x,\quad Q=-3\cos 3y\cos 2x. $$ 注意 $4\sin x\cos x=2\sin 2x$，故 $$ P=2\sin 2x\sin 3y. $$ 计算偏导： $$ \frac{\partial P}{\partial y}=2\sin 2x\cdot 3\cos 3y=6\sin 2x\cos 3y, $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x}=-3\cos 3y\cdot(-2\sin 2x)=6\sin 2x\cos 3y, $$ 相等。 由 $\frac{\partial u}{\partial x}=2\sin 2x\sin 3y$ 积分得 $$ u = -\cos 2x\sin 3y + \varphi(y). $$ 由 $\frac{\partial u}{\partial y}= -\cos 2x\cdot 3\cos 3y + \varphi'(y) = -3\cos 3y\cos 2x$，得 $\varphi'(y)=0$，取 $\varphi=0$，则 $$ u(x,y)=-\cos 2x\sin 3y. $$
**（4）** $$ P=3x^2y+8xy^2,\quad Q=x^3+8x^2y+12ye^y. $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y}=3x^2+16xy,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=3x^2+16xy, $$ 相等。 由 $\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2y+8xy^2$ 积分得 $$ u = x^3y+4x^2y^2+\varphi(y). $$ 由 $\frac{\partial u}{\partial y}=x^3+8x^2y+\varphi'(y)=x^3+8x^2y+12ye^y$，得 $$ \varphi'(y)=12ye^y. $$ 积分得 $\varphi(y)=12(ye^y-e^y)+C$，取 $C=0$，则 $$ u(x,y)=x^3y+4x^2y^2+12(y-1)e^y. $$
**（5）** $$ P=2x\cos y+y^2\cos x,\quad Q=2y\sin x-x^2\sin y. $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y}=-2x\sin y+2y\cos x, $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x}=2y\cos x-2x\sin y, $$ 相等。 由 $\frac{\partial u}{\partial x}=2x\cos y+y^2\cos x$ 积分得 $$ u = x^2\cos y + y^2\sin x + \varphi(y). $$ 由 $\frac{\partial u}{\partial y}=-x^2\sin y+2y\sin x+\varphi'(y)=2y\sin x-x^2\sin y$，得 $\varphi'(y)=0$，取 $\varphi=0$，则 $$ u(x,y)=x^2\cos y+y^2\sin x. $$