📝 题目
2．当 $\Sigma$ 为 $x O y$ 面内的一个闭区域时，曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 与二重积分有什么关系？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 当曲面 $\Sigma$ 是 $xOy$ 平面内的一个闭区域（即 $z=0$ 的平面区域）时，曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $$ 实际上退化为二重积分。这是因为此时曲面的法向量垂直于 $z$ 轴，且曲面方程为 $z = 0$，所以曲面积分中的面积元投影到 $xOy$ 平面就是该区域本身，没有方向变化带来的符号因子（若取上侧或下侧一致，则符号为 $+1$ 或 $-1$，但通常我们取上侧为正方向，即法向量与 $z$ 轴正向一致）。
因此，当 $\Sigma$ 是 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$ 时，有 $$ \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iint_{D} R(x, y, 0) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. $$ 这就是曲面积分与二重积分的关系：曲面积分直接化为被积函数在 $z=0$ 处的取值在区域 $D$ 上的二重积分。
难度：★☆☆☆☆