📝 题目
3．计算下列对坐标的曲面积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 的下半部分的下侧； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\Sigma$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 被平面 $z=0$ 及 $z=3$ 所截得的在第 I 卦限内的部分的前侧； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}[f(x, y, z)+x] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[2 f(x, y, z)+y] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[f(x, y, z)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y, z)$ 为连续函数，$\Sigma$是平面 $x-y+z=1$ 在第 IV 卦限部分的上侧； （4）$\oiint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 曲面 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的下半部分，取下侧。 下侧意味着法向量与 $z$ 轴正向夹角大于 $90^\circ$，因此投影到 $xOy$ 平面时，$dxdy$ 的符号取负。 曲面方程为 $z=-\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，投影区域 $D_{xy}: x^2+y^2 \le R^2$。 被积函数 $x^2 y^2 z$，代入 $z$ 表达式，得：
$$ \iint_{\Sigma} x^2 y^2 z \, dxdy = -\iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \left(-\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right) dxdy $$ 注意下侧时 $dxdy$ 前取负号，而 $z$ 本身为负，所以：
$$ = -\iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \left(-\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right) dxdy = \iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \sqrt{R^2-x^2-y^2} \, dxdy $$
采用极坐标：$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，$dxdy=r\, dr d\theta$，$0\le r\le R$，$0\le\theta\le 2\pi$：
$$ \begin{aligned} &= \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta \int_{0}^{R} r^4 \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\, dr \\ &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\sin^2 2\theta \, d\theta \int_{0}^{R} r^5 \sqrt{R^2-r^2}\, dr \end{aligned} $$
先计算角度部分： $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{4}$。
再计算径向部分：令 $t=R^2-r^2$，则 $r^2=R^2-t$，$r\, dr = -\frac{1}{2}dt$，$r^5 = r^4\cdot r = (R^2-t)^2 r$，所以 $r^5 dr = (R^2-t)^2 \cdot r dr = (R^2-t)^2 \cdot (-\frac{1}{2} dt)$，积分限 $r:0\to R$ 对应 $t:R^2\to 0$：
$$ \int_{0}^{R} r^5 \sqrt{R^2-r^2}\, dr = \int_{R^2}^{0} (R^2-t)^2 \sqrt{t} \cdot \left(-\frac12\right) dt = \frac12 \int_{0}^{R^2} (R^2-t)^2 t^{1/2} dt $$
展开 $(R^2-t)^2 = R^4 - 2R^2 t + t^2$，积分：
$$ \begin{aligned} &= \frac12 \left[ R^4 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} - 2R^2 \cdot \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{2}{7} t^{7/2} \right]_{0}^{R^2} \\ &= \frac12 \left( \frac{2}{3}R^4 (R^3) - \frac{4}{5}R^2 (R^5) + \frac{2}{7} R^7 \right) \\ &= \frac12 R^7 \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{5} + \frac{2}{7} \right) \end{aligned} $$
通分分母 $105$： $\frac{2}{3}=\frac{70}{105},\ \frac{4}{5}=\frac{84}{105},\ \frac{2}{7}=\frac{30}{105}$， 和为 $\frac{70-84+30}{105}=\frac{16}{105}$，乘以 $\frac12$ 得 $\frac{8}{105}R^7$。
因此原积分 = $\frac{\pi}{4} \cdot \frac{8}{105}R^7 = \frac{2\pi}{105}R^7$。
**（1）答案：** $\displaystyle \frac{2\pi}{105}R^7$
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**（2）** 曲面 $\Sigma$：柱面 $x^2+y^2=1$ 在第一卦限部分，$z\in[0,3]$，取前侧（即 $x>0$ 一侧，法向指向 $x$ 正向）。 对坐标曲面积分 $\iint_{\Sigma} z\,dxdy + x\,dydz + y\,dzdx$，需要分别投影。
- 对于 $dydz$ 项：曲面在 $yOz$ 平面投影为矩形 $0\le y\le 1,\ 0\le z\le 3$，但 $x=\sqrt{1-y^2}$（取正），前侧对应 $x$ 正向，所以 $dydz$ 取正号。 $\iint_{\Sigma} x\,dydz = \iint_{D_{yz}} \sqrt{1-y^2}\, dy dz = \int_{0}^{3} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1-y^2}\, dy = 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$。
- 对于 $dzdx$ 项：曲面在 $zOx$ 平面投影为矩形 $0\le x\le 1,\ 0\le z\le 3$，$y=\sqrt{1-x^2}$，前侧法向 $x$ 正向，对应 $dzdx$ 符号需根据右手系判断：$dzdx$ 对应 $y$ 方向，前侧时 $y$ 分量为正，故取正。 $\iint_{\Sigma} y\,dzdx = \iint_{D_{zx}} \sqrt{1-x^2}\, dz dx = \int_{0}^{3} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}\, dx = 3\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$。
- 对于 $dxdy$ 项：曲面是竖直柱面，在 $xOy$ 投影为弧线，面积为零，所以 $\iint_{\Sigma} z\,dxdy = 0$。
总和：$\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}+0 = \frac{3\pi}{2}$。
**（2）答案：** $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$
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**（3）** 曲面 $\Sigma$：平面 $x-y+z=1$ 在第 IV 卦限部分，即 $x\ge0,\ y\le0,\ z\ge0$，取上侧（法向量与 $z$ 轴正向夹角小于 $90^\circ$）。 平面法向量为 $(1,-1,1)$，上侧对应 $z$ 分量正，即取 $(1,-1,1)$ 方向。
将曲面积分分解为三项：
$$ I = \iint_{\Sigma} [f+x]\,dydz + [2f+y]\,dzdx + [f+z]\,dxdy $$
由于 $f$ 连续但未知，可利用对称性或高斯公式思想，但这里不是封闭曲面。 我们采用直接投影法：将曲面表示为 $z=1 - x + y$，且 $x\ge0,\ y\le0,\ z\ge0$，即 $1-x+y\ge0$。 投影到 $xOy$ 平面区域 $D_{xy}$：由 $x\ge0,\ y\le0,\ 1-x+y\ge0$ 即 $y\ge x-1$，是三角形区域。
上侧时，$dxdy$ 取正号，$dydz$ 和 $dzdx$ 需转换：
由 $z=1-x+y$，有 $\frac{\partial z}{\partial x}=-1,\ \frac{\partial z}{\partial y}=1$。 则 $dydz = -\frac{\partial z}{\partial x} dxdy = -(-1)dxdy = dxdy$， $dzdx = -\frac{\partial z}{\partial y} dxdy = -1\cdot dxdy = -dxdy$。
于是：
$$ \begin{aligned} I &= \iint_{D_{xy}} \left\{ [f+x]\cdot(1) + [2f+y]\cdot(-1) + [f+z] \right\} dxdy \\ &= \