📝 题目
7．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 化成对弧长的曲线积分，其中 $L$ 为 （1）在 $x O y$ 面内沿直线从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ； （2）沿抛物线 $y=x^{2}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ； （3）沿上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）沿直线从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$**
直线方程为 $y=x$，方向向量为 $(1,1)$，切向量方向余弦为： $$ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}},\quad \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}. $$ 由对坐标与对弧长曲线积分的关系： $$ \int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds, $$ 代入得： $$ \int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L \left( \frac{P}{\sqrt{2}} + \frac{Q}{\sqrt{2}} \right) ds = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_L (P+Q)\,ds. $$
**（2）沿抛物线 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$**
参数化：$x=t,\ y=t^2$，$t$ 从 $0$ 到 $1$。 切向量为 $(1,2t)$，弧长微元： $$ ds = \sqrt{1+(2t)^2}\,dt = \sqrt{1+4x^2}\,dx. $$ 方向余弦： $$ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}},\quad \cos\beta = \frac{2x}{\sqrt{1+4x^2}}. $$ 因此： $$ \int_L P\,dx+Q\,dy = \int_L \left( P\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}} + Q\frac{2x}{\sqrt{1+4x^2}} \right) ds = \int_L \frac{P+2xQ}{\sqrt{1+4x^2}}\,ds. $$
**（3）沿上半圆周 $x^2+y^2=2x$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$**
将方程化为标准形式： $$ (x-1)^2 + y^2 = 1, $$ 圆心 $(1,0)$，半径 $1$，上半圆参数方程： $$ x = 1+\cos\theta,\quad y = \sin\theta, $$ 起点 $(0,0)$ 对应 $\theta=\pi$，终点 $(1,1)$ 对应 $\theta=\frac{\pi}{2}$。 切向量 $(-\sin\theta,\ \cos\theta)$，弧长微元： $$ ds = \sqrt{(-\sin\theta)^2+(\cos\theta)^2}\,d\theta = d\theta. $$ 方向余弦： $$ \cos\alpha = -\sin\theta,\quad \cos\beta = \cos\theta. $$ 用 $x,y$ 表示：$\sin\theta = y$，$\cos\theta = x-1$，因此： $$ \cos\alpha = -y,\quad \cos\beta = x-1. $$ 于是： $$ \int_L P\,dx+Q\,dy = \int_L \big[P(-y) + Q(x-1)\big]\,ds = \int_L \big[ -yP + (x-1)Q \big]\,ds. $$
**难度评级**：★★☆☆☆