📝 题目
8．设 $\Gamma$ 为曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上相应于 $t$ 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+$ $Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 化成对弧长的曲线积分．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 题目要求将给定的对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。已知曲线参数方程为 $$ x = t,\quad y = t^2,\quad z = t^3,\quad t\in[0,1]. $$ 首先，写出弧长微分 $$ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2}\,\mathrm{d}t. $$ 计算各导数： $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 1,\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 2t,\quad \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = 3t^2. $$ 因此 $$ \mathrm{d}s = \sqrt{1 + 4t^2 + 9t^4}\,\mathrm{d}t. $$
对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的转换公式为 $$ \int_{\Gamma} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y + R\,\mathrm{d}z = \int_{\Gamma} \left(P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma\right)\mathrm{d}s, $$ 其中方向余弦为 $$ \cos\alpha = \frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}t},\quad \cos\beta = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}t},\quad \cos\gamma = \frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}t}. $$ 代入得 $$ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}},\quad \cos\beta = \frac{2t}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}},\quad \cos\gamma = \frac{3t^2}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}}. $$
于是原积分化为 $$ \int_{\Gamma} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y + R\,\mathrm{d}z = \int_{\Gamma} \frac{P + 2t\,Q + 3t^2\,R}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}}\,\mathrm{d}s. $$ 由于在曲线 $\Gamma$ 上，$t = x$，$t^2 = y$，$t^3 = z$，因此也可以将方向余弦用坐标表示： $$ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+4x^2+9x^4}},\quad \cos\beta = \frac{2x}{\sqrt{1+4x^2+9x^4}},\quad \cos\gamma = \frac{3x^2}{\sqrt{1+4x^2+9x^4}}. $$ 最终结果为 $$ \boxed{\displaystyle\int_{\Gamma} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y + R\,\mathrm{d}z = \int_{\Gamma} \frac{P + 2x\,Q + 3x^2\,R}{\sqrt{1+4x^2+9x^4}}\,\mathrm{d}s}. $$
难度：★★☆☆☆