📝 题目
6．设 $z$ 轴与重力的方向一致，求质量为 $m$ 的质点从位置 $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 沿直线移到 $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 时重力所做的功．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
重力场可表示为 $\mathbf{F} = (0, 0, -mg)$，其中 $g$ 为重力加速度，负号表示方向与 $z$ 轴正向相反。 质点沿直线从点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 移动到 $P_2(x_2, y_2, z_2)$，位移向量为 $$ \Delta \mathbf{r} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1). $$
重力做功的计算公式为力与位移的点积： $$ W = \mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r}. $$
代入力的分量： $$ W = (0,\;0,\;-mg) \cdot (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) + 0 \cdot (y_2 - y_1) + (-mg)(z_2 - z_1). $$
因此： $$ W = -mg\,(z_2 - z_1) = mg\,(z_1 - z_2). $$
即重力做功只与竖直方向的高度差有关，与水平路径无关。
最终结果为： $$ \boxed{W = mg(z_1 - z_2)}. $$
难度：★☆☆☆☆