📝 题目
4．设 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 是两个定义在闭区域 $\Omega$ 上的具有二阶连续偏导数的函数，$\frac{\partial u}{\partial n}, \frac{\partial v}{\partial n}$ 依次表示 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 沿 $\Sigma$ 的外法线方向的方向导数．证明：
$$ \displaystyle{\iiint}_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\Sigma}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S, $$
其中 $\Sigma$ 是空间闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面．这个公式叫做格林第二公式．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明：** 我们已知格林第一公式为 $$ \iiint_{\Omega} u \Delta v \, \mathrm{d}V = \oiint_{\Sigma} u \frac{\partial v}{\partial n} \, \mathrm{d}S - \iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, \mathrm{d}V, $$ 同理，交换 $u$ 与 $v$ 的位置可得 $$ \iiint_{\Omega} v \Delta u \, \mathrm{d}V = \oiint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \, \mathrm{d}S - \iiint_{\Omega} \nabla v \cdot \nabla u \, \mathrm{d}V. $$
将第一式减去第二式，注意到 $$ \nabla u \cdot \nabla v = \nabla v \cdot \nabla u, $$ 因此右边体积分项抵消，得到 $$ \iiint_{\Omega} (u \Delta v - v \Delta u) \, \mathrm{d}V = \oiint_{\Sigma} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) \mathrm{d}S. $$
这正是所要证明的格林第二公式。
**难度评级：★★☆☆☆** （属于经典向量分析与高斯公式的直接推论，步骤清晰，但需熟悉散度定理与方向导数关系。）