📝 题目
＊2．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： （1）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x+y+z=0$ ，若从 $x$ 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向； （2）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为椭圆 $x^{2}+y^{2}=a^{2}, \frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1(a\gt 0, b\gt 0)$ ，若从 $x$ 轴正向看去，这椭圆取逆时针方向； （3）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} 3 y \mathrm{~d} x-x z \mathrm{~d} y+y z^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=2 z, z=2$ ，若从 $z$ 轴正向看去，这圆周取逆时针方向； （4）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} 2 y \mathrm{~d} x+3 x \mathrm{~d} y-z^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, z=0$ ，若从 $z$ 轴正向看去，这圆周取逆时针方向．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线积分 $$ \oint_{\Gamma} y\,dx + z\,dy + x\,dz $$ 其中 $\Gamma$ 是平面 $x+y+z=0$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的交线，方向从 $x$ 轴正向看为逆时针。
由斯托克斯公式： $$ \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_{S} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy\,dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz\,dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy $$ 这里 $P=y,\ Q=z,\ R=x$，计算： $$ \frac{\partial R}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=1,\quad \frac{\partial P}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=1 $$ 所以： $$ \iint_{S} (0-1)\,dy\,dz + (0-1)\,dz\,dx + (0-1)\,dx\,dy = -\iint_{S} (dy\,dz+dz\,dx+dx\,dy) $$ 取 $S$ 为平面 $x+y+z=0$ 上被 $\Gamma$ 所围的圆盘，其法向量方向应与曲线方向符合右手定则。从 $x$ 轴正向看逆时针，则法向量指向 $x$ 正方向一侧？需仔细判断。
平面 $x+y+z=0$ 的单位法向量为 $\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$，从 $x$ 轴正向看逆时针，相当于法向量与 $x$ 轴正向夹角小于 $90^\circ$，即法向量 $x$ 分量应为正，这里 $1/\sqrt{3}>0$，符合。因此取法向量 $\vec{n}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$。
面积元投影关系： $$ dy\,dz = \cos\alpha\, dS,\quad dz\,dx = \cos\beta\, dS,\quad dx\,dy = \cos\gamma\, dS $$ 其中方向余弦 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$。
于是： $$ -\iint_{S} (dy\,dz+dz\,dx+dx\,dy) = -\iint_{S} \frac{1+1+1}{\sqrt{3}} dS = -\sqrt{3} \iint_{S} dS $$ 圆盘半径：平面过球心 $(0,0,0)$，所以圆半径即球半径 $a$，面积 $\pi a^2$。因此积分值为： $$ -\sqrt{3} \cdot \pi a^2 = -\sqrt{3}\pi a^2 $$
**（1）答案**：$\displaystyle -\sqrt{3}\pi a^2$
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**（2）** 曲线积分 $$ \oint_{\Gamma} (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz $$ 其中 $\Gamma$ 为柱面 $x^2+y^2=a^2$ 与平面 $\frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1$ 的交线，方向从 $x$ 轴正向看逆时针。
令 $P=y-z,\ Q=z-x,\ R=x-y$，计算旋度： $$ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = (-1)-(-1)=0 $$ $$ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} = (-1)-(1) = -2 $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = (-1)-(1) = -2 $$ 所以： $$ \iint_{S} (0)\,dy\,dz + (-2)\,dz\,dx + (-2)\,dx\,dy = -2\iint_{S} (dz\,dx+dx\,dy) $$ 取 $S$ 为平面 $\frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1$ 上被椭圆所围部分。法向量方向：从 $x$ 轴正向看逆时针，平面法向量与 $x$ 轴正向夹角应小于 $90^\circ$。平面方程可写为 $z = b\left(1-\frac{x}{a}\right)$，法向量为 $\left(\frac{b}{a},0,1\right)$，其 $x$ 分量为正（$b>0,a>0$），符合。
方向余弦： $$ \vec{n} = \frac{(b/a,0,1)}{\sqrt{1+(b/a)^2}} = \frac{(b,0,a)}{\sqrt{a^2+b^2}} $$ 于是： $$ dz\,dx = \cos\beta\, dS = 0\cdot dS = 0 $$ $$ dx\,dy = \cos\gamma\, dS = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} dS $$ 所以积分： $$ -2\iint_{S} (0 + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} dS) = -\frac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}} \iint_{S} dS $$ $S$ 是平面上的椭圆盘，其面积 = 柱面截得的椭圆面积除以法向量与 $z$ 轴夹角余弦。柱面截口在 $xy$ 投影是圆 $x^2+y^2=a^2$，面积 $\pi a^2$。平面与 $xy$ 面夹角余弦为 $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，所以： $$ \iint_{S} dS = \frac{\pi a^2}{a/\sqrt{a^2+b^2}} = \pi a \sqrt{a^2+b^2} $$ 代入得： $$ -\frac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \pi a \sqrt{a^2+b^2} = -2\pi a^2 $$
**（2）答案**：$\displaystyle -2\pi a^2$
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**（3）** 曲线积分 $$ \oint_{\Gamma} 3y\,dx - xz\,dy + yz^2\,dz $$ 其中 $\Gamma$ 是 $x^2+y^2=2z,\ z=2$ 的圆，从 $z$ 轴正向看逆时针。
令 $P=3y,\ Q=-xz,\ R=yz^2$，计算旋度： $$ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = z^2 - (-x) = z^2+x $$ $$ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} = 0 - 0 = 0 $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = (-z) - 3 = -z-3 $$ 取 $S$ 为平面 $z=2$ 上圆盘 $x^2+y^2 \le 4$，法向量向上（与 $z$ 轴正向一致，因为从 $z$ 正向看逆时针，右手定则法向量向上），即 $\vec{n}=(0,0,1)$。
此时 $dy\,dz = 0,\ dz\,dx=0,\ dx\,dy = dS$，所以： $$ \iint_{S} (z^2+x)\,0 + 0\cdot 0 + (-z-3)\,dx\,dy = \iint_{S} (-z-3)\,dx\,dy $$ 在 $z=2$ 上，被积函数 $-2-3=-5$，所以： $$ -5 \iint_{S} dx\,dy = -5 \cdot (\pi\cdot 2^2) = -20\pi $$
**（3）答案**：$\displaystyle -20\pi$
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**（4）** 曲线积分 $$ \oint_{\Gamma} 2y\,dx + 3x\,dy - z^2\,dz $$ 其中 $\Gamma$ 是 $x^2+y^2+z^2=9,\ z=0$ 的圆，从 $z$ 轴正向看逆时针。
令 $P=2y,\ Q=3x,\ R=-z^2$，旋度： $$ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0 $$ $$ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0 \