📝 题目
8．求面密度为 $\mu_{0}$ 的均匀半球壳 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0)$ 对于 $z$ 轴的转动惯量．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**问题**：求面密度为 $\mu_{0}$ 的均匀半球壳 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} (z \geq 0)$ 对于 $z$ 轴的转动惯量。
**解**：
转动惯量公式为 $$ I_z = \iint_{S} (x^2 + y^2) \,\mu_{0}\, \mathrm{d}S $$ 由于 $\mu_{0}$ 为常数，可提出积分号外： $$ I_z = \mu_{0} \iint_{S} (x^2 + y^2) \,\mathrm{d}S $$
半球壳参数化：采用球坐标 $$ x = a \sin\varphi \cos\theta,\quad y = a \sin\varphi \sin\theta,\quad z = a \cos\varphi $$ 其中 $\varphi \in [0, \pi/2]$（因为 $z \ge 0$），$\theta \in [0, 2\pi)$。
球面上面积元为 $$ \mathrm{d}S = a^2 \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta $$ 并且 $$ x^2 + y^2 = a^2 \sin^2\varphi $$
因此被积函数为 $$ (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}S = (a^2 \sin^2\varphi) \cdot (a^2 \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta) = a^4 \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta $$
于是转动惯量 $$ I_z = \mu_{0} \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/2} a^4 \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi $$
先对 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi $$
再对 $\varphi$ 积分： $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{\pi/2} \sin\varphi (1 - \cos^2\varphi) \,\mathrm{d}\varphi $$ 令 $u = \cos\varphi$，则 $\mathrm{d}u = -\sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $u=1$，$\varphi=\pi/2$ 时 $u=0$，于是 $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi = \int_{1}^{0} (1 - u^2)(-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{1} (1 - u^2)\,\mathrm{d}u = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$
因此 $$ I_z = \mu_{0} \cdot 2\pi \cdot a^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi a^4 \mu_{0}}{3} $$
**最终答案**： $$ \boxed{I_z = \frac{4\pi a^{4} \mu_{0}}{3}} $$
**难度评级**：★★☆☆☆