📝 题目
4．确定正向闭曲线 $C$ ，使曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{C}\left(x+\frac{y^{3}}{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y+x-\frac{2}{3} x^{3}\right) \mathrm{d} y$ 达到最大值．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：将曲线积分转化为二重积分** 设 $$ P(x,y)=x+\frac{y^{3}}{3},\quad Q(x,y)=y+x-\frac{2}{3}x^{3}. $$ 由格林公式，对于正向闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$，有 $$ \oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy. $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 - 2x^{2},\quad \frac{\partial P}{\partial y} = y^{2}. $$ 因此 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 2x^{2} - y^{2}. $$ 于是 $$ I = \iint_D (1 - 2x^{2} - y^{2})\,dx\,dy. $$
**第二步：分析被积函数符号与最大值条件** 要使曲线积分达到最大值，应选取区域 $D$ 使得被积函数 $f(x,y)=1-2x^{2}-y^{2}$ 在 $D$ 上尽可能取正值，且包含所有正值的点，同时避免包含负值区域（因为负值会减小积分值）。 因此，最佳选择是取 $D$ 为被积函数非负的区域，即 $$ 1 - 2x^{2} - y^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+y^{2} \le 1. $$ 这是一个椭圆区域： $$ \frac{x^{2}}{1/2} + \frac{y^{2}}{1} \le 1. $$ 其边界曲线 $C$ 为椭圆 $$ 2x^{2} + y^{2} = 1, $$ 取正向（逆时针方向）。
**第三步：验证最大值** 若取比该椭圆更大的区域，则会包含 $f<0$ 的部分，使积分减小；若取更小的区域，则损失了部分正值的贡献。因此该椭圆即为使积分最大的闭曲线。
**第四步：计算最大值（可选）** 最大值即为 $$ I_{\max} = \iint_{2x^{2}+y^{2}\le 1} (1-2x^{2}-y^{2})\,dx\,dy. $$ 作变量代换：令 $$ x = \frac{u}{\sqrt{2}},\quad y = v, $$ 则雅可比行列式为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，区域变为单位圆 $u^{2}+v^{2}\le 1$，被积函数变为 $$ 1 - 2\left(\frac{u^{2}}{2}\right) - v^{2} = 1 - u^{2} - v^{2}. $$ 于是 $$ I_{\max} = \iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} (1-u^{2}-v^{2})\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,du\,dv = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} (1-r^{2})\, r\,dr. $$ 计算内层积分： $$ \int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr = \left[ \frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. $$ 乘以 $2\pi$ 得 $\frac{\pi}{2}$，再乘 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 得 $$ I_{\max} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}. $$
**最终答案** 使曲线积分达到最大值的正向闭曲线 $C$ 为椭圆 $$ \boxed{2x^{2}+y^{2}=1}, $$ 取逆时针方向。