📝 题目
10．设有一变力在坐标轴上的投影为 $X=x^{2}+y^{2}, Y=2 x y-8$ ，这变力确定了一个力场．证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关．
💡 答案与解析
[AI解答]
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要证明质点在场力作用下移动时，场力所做的功与路径无关，等价于证明该向量场是保守场，即存在势函数，或等价地，在单连通区域内满足无旋条件。对于二维力场 $$ \mathbf{F} = (X, Y) = (x^2 + y^2,\ 2xy - 8) $$ 需要验证是否满足 $$ \frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial Y}{\partial x}. $$
首先计算偏导数：
$$ \frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y, $$ $$ \frac{\partial Y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy - 8) = 2y. $$
显然有 $$ \frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial Y}{\partial x}. $$
由于该偏导数在全体 $\mathbb{R}^2$ 上连续，且 $\mathbb{R}^2$ 是单连通区域，因此该力场是保守场，场力做功与路径无关。
进一步，我们可以求出势函数 $U(x,y)$，使得 $$ X = \frac{\partial U}{\partial x},\quad Y = \frac{\partial U}{\partial y}. $$
由 $$ \frac{\partial U}{\partial x} = x^2 + y^2 $$ 积分得 $$ U(x,y) = \frac{x^3}{3} + x y^2 + \varphi(y). $$
再对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial U}{\partial y} = 2xy + \varphi'(y) = 2xy - 8, $$ 所以 $$ \varphi'(y) = -8 \quad\Rightarrow\quad \varphi(y) = -8y + C. $$
因此势函数为 $$ U(x,y) = \frac{x^3}{3} + x y^2 - 8y + C. $$
由于存在势函数，功与路径无关得证。
难度：★★☆☆☆