📝 题目
1．计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(2 x y-x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是由抛物线 $y=x^{2}$ 和 $y^{2}=x$ 所围成的区域的正向边界曲线； （2）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}-x y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是四个顶点分别为 $(0,0),(2,0),(2,2)$ 和 $(0,2)$ 的正方形区域的正向边界．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线 $L$ 由 $y=x^2$ 与 $y^2=x$ 围成，交点满足 $$ x^2 = \sqrt{x} \quad\Rightarrow\quad x^4 = x \quad\Rightarrow\quad x(x^3-1)=0 $$ 得 $x=0$ 或 $x=1$，对应点 $(0,0)$ 与 $(1,1)$。 正向边界为逆时针方向。
令 $$ P(x,y)=2xy - x^2,\quad Q(x,y)=x + y^2 $$ 则 $$ \frac{\partial P}{\partial y}=2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=1 $$ 由格林公式， $$ \oint_L P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) d\sigma = \iint_D (1 - 2x)\, d\sigma $$ 区域 $D$ 由 $y=x^2$ 和 $x=y^2$ 围成，可表示为 $$ 0\le x\le 1,\quad x^2\le y\le \sqrt{x} $$ 于是 $$ \iint_D (1-2x)\,d\sigma = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (1-2x)\,dy\,dx = \int_{0}^{1} (1-2x)(\sqrt{x} - x^2)\,dx $$ 计算： $$ \int_{0}^{1} \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3},\quad \int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}, \quad \int_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1} x^3\,dx = \frac{1}{4} $$ 所以 $$ \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2)\,dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $$ $$ \int_{0}^{1} (-2x)(\sqrt{x} - x^2)\,dx = -2\left( \frac{2}{5} - \frac{1}{4} \right) = -2\left( \frac{8}{20} - \frac{5}{20} \right) = -\frac{6}{20} = -\frac{3}{10} $$ 总和为 $$ \frac{1}{3} - \frac{3}{10} = \frac{10}{30} - \frac{9}{30} = \frac{1}{30} $$ 因此格林公式右端为 $\displaystyle \frac{1}{30}$。
下面直接计算曲线积分验证。 将边界分为两段： - 段1：沿 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，$dy=2x\,dx$ $$ \int_{C_1} = \int_{0}^{1} \left[ (2x\cdot x^2 - x^2) + (x + x^4)\cdot 2x \right] dx = \int_{0}^{1} (2x^3 - x^2 + 2x^2 + 2x^5)\,dx $$ $$ = \int_{0}^{1} (2x^3 + x^2 + 2x^5)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6} $$ - 段2：沿 $x=y^2$ 从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$，注意方向为从 $y=1$ 到 $y=0$，$dx=2y\,dy$ $$ \int_{C_2} = \int_{1}^{0} \left[ (2y^2\cdot y - y^4)\cdot 2y + (y^2 + y^2) \right] dy = \int_{1}^{0} \left[ (2y^3 - y^4)2y + 2y^2 \right] dy $$ $$ = \int_{1}^{0} (4y^4 - 2y^5 + 2y^2)\,dy = -\int_{0}^{1} (4y^4 - 2y^5 + 2y^2)\,dy $$ 计算： $$ \int_{0}^{1} 4y^4\,dy = \frac{4}{5},\quad \int_{0}^{1} 2y^5\,dy = \frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1} 2y^2\,dy = \frac{2}{3} $$ 所以 $$ \int_{C_2} = -\left( \frac{4}{5} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right) = -\left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right) = -\left( \frac{12}{15} + \frac{5}{15} \right) = -\frac{17}{15} $$ 总曲线积分为 $$ \frac{7}{6} - \frac{17}{15} = \frac{35}{30} - \frac{34}{30} = \frac{1}{30} $$ 与格林公式结果一致，验证正确。
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**（2）** 区域为正方形 $0\le x\le 2,\;0\le y\le 2$，正向为逆时针。 令 $$ P = x^2 - xy^3,\quad Q = y^2 - 2xy $$ 则 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = -3xy^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -2y $$ 格林公式给出 $$ \oint_L P\,dx+Q\,dy = \iint_D (-2y + 3xy^2)\,d\sigma $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (-2y + 3xy^2)\,dy\,dx = \int_{0}^{2} \left[ -y^2 + x y^3 \right]_{y=0}^{2} dx = \int_{0}^{2} (-4 + 8x)\,dx $$ 计算： $$ \int_{0}^{2} (-4)\,dx = -8,\quad \int_{0}^{2} 8x\,dx = 16 $$ 总和为 $8$。
直接计算曲线积分： - 下边 $y=0$，从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$，$dy=0$， $$ \int_{\text{下}} = \int_{0}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} $$ - 右边 $x=2$，从 $(2,0)$ 到 $(2,2)$，$dx=0$， $$ \int_{\text{右}} = \int_{0}^{2} (y^2 - 4y)\,dy = \left[ \frac{y^3}{3} - 2y^2 \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3} $$ - 上边 $y=2$，从 $(2,2)$ 到 $(0,2)$，$dy=0$，注意方向向左： $$ \int_{\text{上}} = \int_{2}^{0} (x^2 - 2x\cdot 8)\,dx = \int_{2}^{0} (x^2 - 16x)\,dx = -\int_{0}^{2} (x^2 - 16x)\,dx = -\left( \frac{8}{3} - 32 \right) = -\frac{8}{3} + 32 = \frac{88}{3} $$ - 左边 $x=0$，从 $(0,2)$ 到 $(0,0)$，$dx=0$， $$ \int_{\text{左}} = \int_{2}^{0} y^2\,dy = -\int_{0}^{2} y^2\,dy = -\frac{8}{3} $$ 总和： $$ \frac{8}{3} - \frac{16}{3} + \frac{88}{3} - \frac{8}{3} = \frac{72}{3} = 24 $$ 咦？这里直接计算得到24，而格林公式得到8，说明我方向搞反了？检查正向