📝 题目
12．确定常数 $\lambda$ ，使在右半平面 $x\gt 0$ 上的向量 $\boldsymbol{A}(x, y)=2 x y\left(x^{4}+y^{2}\right)^{\lambda} \boldsymbol{i}-x^{2}\left(x^{4}+y^{2}\right)^{\lambda} \boldsymbol{j}$ 为某二元函数 $u(x, y)$ 的梯度，并求 $u(x, y)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**步骤1：梯度存在的条件** 向量场 $\boldsymbol{A}(x, y) = P(x, y)\boldsymbol{i} + Q(x, y)\boldsymbol{j}$ 是某函数 $u(x, y)$ 的梯度，当且仅当在单连通区域内满足 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}. $$ 这里 $$ P(x,y) = 2xy (x^4 + y^2)^\lambda, \quad Q(x,y) = -x^2 (x^4 + y^2)^\lambda. $$
**步骤2：计算偏导数** 先求 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}$： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 2x (x^4 + y^2)^\lambda + 2xy \cdot \lambda (x^4 + y^2)^{\lambda-1} \cdot 2y = 2x (x^4 + y^2)^\lambda + 4\lambda x y^2 (x^4 + y^2)^{\lambda-1}. $$
再求 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}$： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = -2x (x^4 + y^2)^\lambda - x^2 \cdot \lambda (x^4 + y^2)^{\lambda-1} \cdot 4x^3 = -2x (x^4 + y^2)^\lambda - 4\lambda x^4 (x^4 + y^2)^{\lambda-1}. $$
**步骤3：令两者相等** $$ 2x (x^4 + y^2)^\lambda + 4\lambda x y^2 (x^4 + y^2)^{\lambda-1} = -2x (x^4 + y^2)^\lambda - 4\lambda x^4 (x^4 + y^2)^{\lambda-1}. $$ 移项合并同类项： $$ 4x (x^4 + y^2)^\lambda + 4\lambda x (y^2 + x^4)(x^4 + y^2)^{\lambda-1} = 0. $$ 注意 $(y^2 + x^4) = (x^4 + y^2)$，所以第二项为 $$ 4\lambda x (x^4 + y^2)^{\lambda}. $$ 于是方程化为 $$ 4x (x^4 + y^2)^\lambda (1 + \lambda) = 0. $$ 由于在右半平面 $x>0$，且 $x^4+y^2>0$，故 $$ 1 + \lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -1. $$
**步骤4：求势函数 $u(x, y)$** 此时 $$ P = \frac{2xy}{x^4 + y^2}, \quad Q = -\frac{x^2}{x^4 + y^2}. $$ 设 $u(x, y)$ 满足 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = P, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = Q. $$ 从第一个方程积分： $$ u(x, y) = \int \frac{2xy}{x^4 + y^2} \, dx. $$ 令 $t = x^2$，则 $dt = 2x dx$，于是 $$ \int \frac{2xy}{x^4 + y^2} dx = \int \frac{y}{t^2 + y^2} dt = \arctan\left(\frac{t}{y}\right) + C(y) = \arctan\left(\frac{x^2}{y}\right) + C(y). $$ 再对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left[ \arctan\left(\frac{x^2}{y}\right) + C(y) \right] = \frac{1}{1 + \left(\frac{x^2}{y}\right)^2} \cdot \left(-\frac{x^2}{y^2}\right) + C'(y) = -\frac{x^2}{x^4 + y^2} + C'(y). $$ 令其等于 $Q = -\dfrac{x^2}{x^4 + y^2}$，得 $C'(y) = 0$，故 $C(y)$ 为常数，可取为 0。
因此 $$ u(x, y) = \arctan\left(\frac{x^2}{y}\right). $$
**最终答案** 常数 $\lambda = -1$，势函数为 $$ \boxed{\lambda = -1,\quad u(x,y)=\arctan\frac{x^{2}}{y}}. $$
难度：★★☆☆☆