📝 题目
7．利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）$\displaystyle{\oint}_{L}(2 x-y+4) \mathrm{d} x+(5 y+3 x-6) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是三顶点分别为 $(0,0),(3,0)$ 和 $(3,2)$ 的三角形正向边界； （2）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2} y \cos x+2 x y \sin x-y^{2} \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \sin x-2 y \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为正向星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a\gt 0)$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为在抛物线 $2 x=\pi y^{2}$ 上由点 $(0,0)$ 到 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段弧； （4） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-\left(x+\sin ^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是在圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 上由点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线积分 $$ \oint_{L} (2x - y + 4)\,dx + (5y + 3x - 6)\,dy $$ 其中 $L$ 是顶点 $(0,0),(3,0),(3,2)$ 的三角形正向边界。 令 $$ P = 2x - y + 4,\quad Q = 5y + 3x - 6 $$ 则 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 3,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1 $$ 由格林公式 $$ \oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy $$ 其中 $D$ 是三角形区域： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3 - (-1) = 4 $$ 于是 $$ \iint_{D} 4\,dx\,dy = 4 \times \text{三角形面积} $$ 三角形底边长 $3$，高 $2$，面积 $= \frac12 \times 3 \times 2 = 3$，所以 $$ \oint_{L} = 4 \times 3 = 12 $$ 因此 $$ \boxed{12} $$
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**（2）** 曲线积分 $$ \oint_{L} \left(x^{2}y\cos x + 2xy\sin x - y^{2}e^{x}\right)dx + \left(x^{2}\sin x - 2y e^{x}\right)dy $$ 其中 $L$ 为正向星形线 $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$。 令 $$ P = x^{2}y\cos x + 2xy\sin x - y^{2}e^{x},\quad Q = x^{2}\sin x - 2y e^{x} $$ 计算偏导： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x\sin x + x^{2}\cos x - 2y e^{x} $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = x^{2}\cos x + 2x\sin x - 2y e^{x} $$ 相减得 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2x\sin x + x^{2}\cos x - 2y e^{x}) - (x^{2}\cos x + 2x\sin x - 2y e^{x}) = 0 $$ 由格林公式， $$ \oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} 0\,dx\,dy = 0 $$ 因此 $$ \boxed{0} $$
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**（3）** 曲线积分 $$ \int_{L} (2xy^{3} - y^{2}\cos x)\,dx + (1 - 2y\sin x + 3x^{2}y^{2})\,dy $$ 其中 $L$ 是抛物线 $2x = \pi y^{2}$ 上从 $(0,0)$ 到 $(\pi/2,1)$ 的一段弧。 令 $$ P = 2xy^{3} - y^{2}\cos x,\quad Q = 1 - 2y\sin x + 3x^{2}y^{2} $$ 计算偏导： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = -2y\cos x + 6x y^{2} $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 6x y^{2} - 2y\cos x $$ 显然 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} $$ 因此积分与路径无关，可选取折线路径：先沿 $x$ 轴从 $(0,0)$ 到 $(\pi/2,0)$，再沿竖直线到 $(\pi/2,1)$。
第一段：$y=0, dy=0$，被积函数中 $P=0$，积分为 $0$。 第二段：$x=\pi/2$，$dx=0$，$y$ 从 $0$ 到 $1$， $$ Q = 1 - 2y\sin(\pi/2) + 3(\pi/2)^{2}y^{2} = 1 - 2y + \frac{3\pi^{2}}{4}y^{2} $$ 积分 $$ \int_{0}^{1} \left(1 - 2y + \frac{3\pi^{2}}{4}y^{2}\right) dy = \left[ y - y^{2} + \frac{3\pi^{2}}{4}\cdot\frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - 1 + \frac{\pi^{2}}{4} = \frac{\pi^{2}}{4} $$ 因此 $$ \boxed{\frac{\pi^{2}}{4}} $$
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**（4）** 曲线积分 $$ \int_{L} (x^{2} - y)\,dx - (x + \sin^{2}y)\,dy $$ 其中 $L$ 是圆周 $y = \sqrt{2x - x^{2}}$ 上从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的一段弧。 令 $$ P = x^{2} - y,\quad Q = -x - \sin^{2}y $$ 计算 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = -1,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1 $$ 所以 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - (-1) = 0 $$ 积分与路径无关。取另一路径：从 $(0,0)$ 沿直线到 $(1,1)$，即 $y=x$，$dy=dx$，$x$ 从 $0$ 到 $1$。 被积表达式变为 $$ (x^{2} - x)dx - (x + \sin^{2}x)dx = (x^{2} - x - x - \sin^{2}x)dx = (x^{2} - 2x - \sin^{2}x)dx $$ 积分 $$ \int_{0}^{1} (x^{2} - 2x - \sin^{2}x)\,dx $$ 计算： $$ \int_{0}^{1} x^{2} dx = \frac13,\quad \