📝 题目
6．证明下列曲线积分在整个 $x O y$ 面内与路径无关，并计算积分值： （1） $\displaystyle{\int}_{(1,1)}^{(2,3)}(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{(1,2)}^{(3,4)}\left(6 x y^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y-3 x y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{(1,0)}^{(2,1)}\left(2 x y-y^{4}+3\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x y^{3}\right) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线积分 $$ \int_{(1,1)}^{(2,3)} (x+y)\,dx + (x-y)\,dy $$ 令 $P = x+y$，$Q = x-y$。 计算偏导数： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 1. $$ 由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 在整个 $xOy$ 面内成立，故积分与路径无关。 取路径：先从 $(1,1)$ 到 $(2,1)$（水平），再从 $(2,1)$ 到 $(2,3)$（竖直）。
第一段：$y=1$，$dy=0$，$x$ 从 $1$ 到 $2$： $$ \int_{1}^{2} (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{1}^{2} = (2+2) - \left(\frac12+1\right) = 4 - 1.5 = 2.5. $$ 第二段：$x=2$，$dx=0$，$y$ 从 $1$ 到 $3$： $$ \int_{1}^{3} (2-y)\,dy = \left[2y - \frac{y^2}{2}\right]_{1}^{3} = (6 - 4.5) - (2 - 0.5) = 1.5 - 1.5 = 0. $$ 所以积分值为 $2.5$。
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**（2）** 积分 $$ \int_{(1,2)}^{(3,4)} (6xy^2 - y^3)\,dx + (6x^2y - 3xy^2)\,dy $$ 令 $P = 6xy^2 - y^3$，$Q = 6x^2y - 3xy^2$。 计算： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 12xy - 3y^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 12xy - 3y^2. $$ 相等，故与路径无关。 取路径：先水平从 $(1,2)$ 到 $(3,2)$，再竖直从 $(3,2)$ 到 $(3,4)$。
第一段：$y=2$，$dy=0$，$x$ 从 $1$ 到 $3$： $$ \int_{1}^{3} (6x\cdot 4 - 8)\,dx = \int_{1}^{3} (24x - 8)\,dx = \left[12x^2 - 8x\right]_{1}^{3} = (108 - 24) - (12 - 8) = 84 - 4 = 80. $$ 第二段：$x=3$，$dx=0$，$y$ 从 $2$ 到 $4$： $$ \int_{2}^{4} (6\cdot 9 \cdot y - 3\cdot 3 \cdot y^2)\,dy = \int_{2}^{4} (54y - 9y^2)\,dy = \left[27y^2 - 3y^3\right]_{2}^{4}. $$ 计算： $$ (27\cdot 16 - 3\cdot 64) - (27\cdot 4 - 3\cdot 8) = (432 - 192) - (108 - 24) = 240 - 84 = 156. $$ 积分值为 $80 + 156 = 236$。
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**（3）** 积分 $$ \int_{(1,0)}^{(2,1)} (2xy - y^4 + 3)\,dx + (x^2 - 4xy^3)\,dy $$ 令 $P = 2xy - y^4 + 3$，$Q = x^2 - 4xy^3$。 计算： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 4y^3,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - 4y^3. $$ 相等，故与路径无关。 取路径：先竖直从 $(1,0)$ 到 $(1,1)$，再水平从 $(1,1)$ 到 $(2,1)$。
第一段：$x=1$，$dx=0$，$y$ 从 $0$ 到 $1$： $$ \int_{0}^{1} (1^2 - 4\cdot 1 \cdot y^3)\,dy = \int_{0}^{1} (1 - 4y^3)\,dy = \left[y - y^4\right]_{0}^{1} = 1 - 1 = 0. $$ 第二段：$y=1$，$dy=0$，$x$ 从 $1$ 到 $2$： $$ \int_{1}^{2} (2x\cdot 1 - 1^4 + 3)\,dx = \int_{1}^{2} (2x + 2)\,dx = \left[x^2 + 2x\right]_{1}^{2} = (4+4) - (1+2) = 8 - 3 = 5. $$ 积分值为 $5$。