📝 题目
＊4．利用斯托克斯公式把曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \mathrm{~d} S$ 化为曲线积分，并计算积分值，其中 $A, \Sigma$ 及 $n$分别如下： （1）$A=y^{2} i+x y j+x z k, \Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧，$n$ 是 $\Sigma$ 的单位法向量； （2）$A=(y-z) i+y z j-x z k, \Sigma$ 为立方体 $\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2,0 \leqslant z \leqslant 2\}$ 的表面外侧去掉 $x O y$面上的那个底面，$n$ 是 $\Sigma$ 的单位法向量． ${ }^{*}$ 5．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 沿闭曲线 $\Gamma$（从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 依逆时针方向）的环流量： （1）$A=-y i+x j+c k$（ $c$ 为常量），$\Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, z=0$ ； （2）$A=(x-z) i+\left(x^{3}+y z\right) j-3 x y^{2} k$ ，其中 $\Gamma$ 为圆周 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z=0$ ．
💡 答案与解析
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**习题11-7**
**4．** 利用斯托克斯公式把曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \mathrm{~d} S$ 化为曲线积分，并计算积分值。
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### （1）
已知 $$ A = y^{2} i + x y j + x z k, $$ $\Sigma$ 为上半球面 $z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}$ 的上侧，$n$ 是单位法向量。
**步骤1：斯托克斯公式** 斯托克斯公式： $$ \iint_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \, \mathrm{d}S = \oint_{\partial \Sigma} A \cdot \mathrm{d}r, $$ 其中 $\partial \Sigma$ 是 $\Sigma$ 的边界曲线，方向与 $n$ 成右手螺旋。
**步骤2：确定边界曲线** 上半球面 $z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}$ 的边界是 $x^2 + y^2 = 1$，$z = 0$ 的圆周。 上侧法向量指向外上方，按右手法则，边界曲线方向应为从 $z$ 轴正向看逆时针方向。
**步骤3：参数化边界曲线** 令 $$ x = \cos t,\quad y = \sin t,\quad z = 0,\quad t: 0 \to 2\pi. $$ 则 $$ \mathrm{d}r = (-\sin t \, \mathrm{d}t,\ \cos t \, \mathrm{d}t,\ 0). $$
**步骤4：计算曲线积分** 在边界上 $z=0$，所以 $A = (y^2,\ xy,\ 0)$。 代入： $$ A \cdot \mathrm{d}r = y^2 (-\sin t) + xy (\cos t) + 0. $$ 将 $x=\cos t,\ y=\sin t$ 代入： $$ y^2 = \sin^2 t,\quad xy = \cos t \sin t. $$ 因此： $$ A \cdot \mathrm{d}r = -\sin^3 t + \cos^2 t \sin t. $$ 于是： $$ \oint_{\partial \Sigma} A \cdot \mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi} \left( -\sin^3 t + \cos^2 t \sin t \right) \mathrm{d}t. $$
**步骤5：计算积分** 注意 $\sin^3 t = \sin t (1 - \cos^2 t)$，所以： $$ -\sin^3 t + \cos^2 t \sin t = -\sin t (1 - \cos^2 t) + \cos^2 t \sin t = -\sin t + \cos^2 t \sin t + \cos^2 t \sin t = -\sin t + 2\cos^2 t \sin t. $$ 在 $[0,2\pi]$ 上，$\sin t$ 和 $\cos^2 t \sin t$ 都是奇函数关于 $\pi$ 对称，积分均为 $0$。 因此： $$ \oint_{\partial \Sigma} A \cdot \mathrm{d}r = 0. $$
**答案（1）：** $$ \boxed{0} $$
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### （2）
已知 $$ A = (y-z) i + y z j - x z k, $$ $\Sigma$ 为立方体 $\{0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 2,\ 0 \le z \le 2\}$ 的表面外侧去掉 $xOy$ 面上的底面，$n$ 是单位法向量。
**步骤1：应用斯托克斯公式** 斯托克斯公式将曲面积分化为边界曲线积分： $$ \iint_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \, \mathrm{d}S = \oint_{\partial \Sigma} A \cdot \mathrm{d}r. $$ 这里 $\partial \Sigma$ 是去掉底面的曲面的边界，即立方体底面（$z=0$ 平面上的正方形）的边界，方向与外侧法向量成右手系。
**步骤2：确定边界曲线及方向** 底面是正方形 $0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 2,\ z=0$，其边界是四条边。 由于 $\Sigma$ 是外侧去掉底面，剩余曲面法向指向外侧，则底面边界方向应为从上方看逆时针（即正向）。
**步骤3：参数化各边** 在 $z=0$ 上，$A = (y-0,\ y\cdot 0,\ -x\cdot 0) = (y,0,0)$。
- 边1：$y=0,\ x:0\to2$，$\mathrm{d}r = (\mathrm{d}x,0,0)$，$A=(0,0,0)$，积分为 $0$。 - 边2：$x=2,\ y:0\to2$，$\mathrm{d}r=(0,\mathrm{d}y,0)$，$A=(y,0,0)$，点乘得 $0$。 - 边3：$y=2,\ x:2\to0$，$\mathrm{d}r=(\mathrm{d}x,0,0)$，$A=(2,0,0)$，点乘得 $2\mathrm{d}x$，积分 $\int_{2}^{0} 2\mathrm{d}x = -4$。 - 边4：$x=0,\ y:2\to0$，$\mathrm{d}r=(0,\mathrm{d}y,0)$，$A=(y,0,0)$，点乘得 $0$。
**步骤4：求和** 只有边3贡献 $-4$。
**答案（2）：** $$ \boxed{-4} $$
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**5．** 求向量场 $A$ 沿闭曲线 $\Gamma$（从 $z$ 轴正向看逆时针）的环流量。
环流量公式： $$ \oint_{\Gamma} A \cdot \mathrm{d}r. $$
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### （1）
$A = -y i + x j + c k$，$\Gamma$ 为圆周 $x^2+y^2=1,\ z=0$。
**参数化：** $x = \cos t,\ y = \sin t,\ z=0,\ t:0\to 2\pi$。 $\mathrm{d}r = (-\sin t,\ \cos t,\ 0)\,\mathrm{d}t$。
代入： $$ A = (-\sin t,\ \cos t,\ c), $$ 点乘： $$ A \cdot \mathrm{d}r = (-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t) + c\cdot 0 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1. $$ 因此： $$ \oint_{\Gamma} A \cdot \mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi} 1\,\mathrm{d}t = 2\pi. $$
**答案（1）：** $$ \boxed{2\pi} $$
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### （2）
$A = (x-z) i + (x^3 + yz) j - 3xy^2 k$， $\Gamma$ 为圆周 $z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2},\ z=0$。
**步骤1：确定曲线方程** 由 $z=0$ 得 $0 = 2 - \sqrt{x^2+y^2}$，即 $\sqrt{x^2+y^2}=2$，所以是 $x^2+y^2=4$ 在 $z=0$ 平面上的圆。
**步骤2：参数化** 令 $$ x = 2\cos t,\ y = 2\sin t,\ z=0,\ t:0\to 2\pi. $$ 则 $$ \mathrm{d}r = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 0)\,\mathrm{d}t. $$
**步骤3：代入 $A$** 在 $z=0$ 上： $$ A = (x,\ x^3,\ -3xy^2). $$ 代入 $x=2\cos t,\ y=2\sin t$： $$ A = (2\cos t,\ 8\cos^3 t,\ -3(2\cos t)(4\sin^2 t)) = (2\cos t,\ 8\cos^3 t,\ -24\cos t \sin^2 t). $$ 点乘： $$ A \cdot \mathrm{d}r = (2\cos t)(-2\sin t) + (8\cos^3 t)(2\cos t) + (-24\cos t\sin^2 t)(0) = -4\cos t\sin t + 16\cos^4 t. $$
**步骤4：计算积分** $$ \oint_{\Gamma} A \cdot \mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi} \left( -4\cos t\sin t + 16\cos^4 t \right) \mathrm{d}t. $$ 第一