📝 题目
6．计算下列对面积的曲面积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(z+2 x+\frac{4}{3} y\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第 I 卦限中的部分； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x y-2 x^{2}-x+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $2 x+2 y+z=6$ 在第 I 卦限中的部分； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 上 $z \geqslant h(0\lt h\lt a)$ 的部分； （4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $x^{2}+y^{2}=2 a x$ 所截得的有限部分．
💡 答案与解析
[AI解答]
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### （1） 曲面 $\Sigma$ 为平面 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第 I 卦限部分，即 $$ z = 4\left(1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) = 4 - 2x - \frac{4}{3}y $$ 且 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$，即 $$ x \ge 0,\quad y \ge 0,\quad 2x + \frac{4}{3}y \le 4 $$ 即 $$ x \ge 0,\quad y \ge 0,\quad 3x + 2y \le 6 $$
曲面为平面，面积元 $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 这里 $$ z_x = -2,\quad z_y = -\frac{4}{3} $$ 所以 $$ \sqrt{1 + (-2)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 4 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{9+36+16}{9}} = \sqrt{\frac{61}{9}} = \frac{\sqrt{61}}{3} $$
被积函数为 $$ z + 2x + \frac{4}{3}y = \left(4 - 2x - \frac{4}{3}y\right) + 2x + \frac{4}{3}y = 4 $$
因此积分化为 $$ \iint_{\Sigma} 4\,\mathrm{d}S = 4 \cdot \frac{\sqrt{61}}{3} \iint_{D} \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 其中 $D$ 为 $x\ge0, y\ge0, 3x+2y\le6$，其面积为 $$ \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3 = 3 $$ 所以 $$ \text{原式} = 4 \cdot \frac{\sqrt{61}}{3} \cdot 3 = 4\sqrt{61} $$
**答案：** $$ \boxed{4\sqrt{61}} $$
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### （2） 曲面 $\Sigma$：平面 $2x+2y+z=6$ 在第 I 卦限部分，即 $$ z = 6 - 2x - 2y $$ 且 $x\ge0, y\ge0, z\ge0$，即 $$ x\ge0,\quad y\ge0,\quad x+y\le3 $$
面积元 $$ z_x = -2,\quad z_y = -2,\quad \sqrt{1+4+4} = 3 $$ 所以 $\mathrm{d}S = 3\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
被积函数 $$ 2xy - 2x^2 - x + z = 2xy - 2x^2 - x + (6-2x-2y) $$ 化简为 $$ 2xy - 2x^2 - 3x - 2y + 6 $$
积分 $$ I = \iint_{D} \left(2xy - 2x^2 - 3x - 2y + 6\right) \cdot 3\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 其中 $D: 0\le x\le 3, 0\le y\le 3-x$
先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{3-x} (2xy - 2y)\,\mathrm{d}y = \left[ xy^2 - y^2 \right]_{0}^{3-x} = (x-1)(3-x)^2 $$ 常数项与 $x$ 项： $$ \int_{0}^{3-x} (-2x^2 - 3x + 6)\,\mathrm{d}y = (-2x^2 - 3x + 6)(3-x) $$
所以内层积分结果为 $$ (x-1)(3-x)^2 + (-2x^2 - 3x + 6)(3-x) $$ 展开 $(x-1)(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x - x^2 + 6x - 9 = x^3 - 7x^2 + 15x - 9$ 另一部分：$(-2x^2 - 3x + 6)(3-x) = (-2x^2 - 3x + 6)\cdot 3 - (-2x^2 - 3x + 6)x$ 先算： $$ = -6x^2 - 9x + 18 + 2x^3 + 3x^2 - 6x = 2x^3 - 3x^2 - 15x + 18 $$ 相加得 $$ (x^3 - 7x^2 + 15x - 9) + (2x^3 - 3x^2 - 15x + 18) = 3x^3 - 10x^2 + 0x + 9 $$
于是 $$ I = 3 \int_{0}^{3} (3x^3 - 10x^2 + 9)\,\mathrm{d}x $$ 计算： $$ \int_{0}^{3} 3x^3\,\mathrm{d}x = \frac{3}{4}\cdot 81 = \frac{243}{4} $$ $$ \int_{0}^{3} -10x^2\,\mathrm{d}x = -10\cdot 9 = -90 $$ $$ \int_{0}^{3} 9\,\mathrm{d}x = 27 $$ 和为 $$ \frac{243}{4} - 90 + 27 = \frac{243}{4} - 63 = \frac{243 - 252}{4} = -\frac{9}{4} $$ 乘以 3 得 $$ I = -\frac{27}{4} $$
**答案：** $$ \boxed{-\frac{27}{4}} $$
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### （3） 曲面 $\Sigma$：球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上 $z\ge h$ 部分，$0 用球坐标： $$ x = a\sin\varphi\cos\theta,\quad y = a\sin\varphi\sin\theta,\quad z = a\cos\varphi $$ 曲面面积元 $$ \mathrm{d}S = a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta $$ 条件 $z\ge h$ 即 $a\cos\varphi \ge h$，即 $\cos\varphi \ge \frac{h}{a}$，所以 $$ 0 \le \varphi \le \arccos\left(\frac{h}{a}\right) $$ $\theta$ 范围 $0\le\theta\le 2\pi$ 被积函数 $$ x+y+z = a\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta) + a\cos\varphi $$ 积分 $$ I = \iint_{\Sigma} (x+y+z)\,\mathrm{d}S = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\varphi_0} \big[a\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta) + a\cos\varphi\big] a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta $$ 其中 $\varphi_0 = \arccos(h/a)$ 先对 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta = 0 $$ 所以含 $\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta)$ 项积分为 0。 剩下 $$ I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\varphi_0} a\cos\varphi \cdot a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta = 2\pi a^3 \int_{0}^{\varphi_0} \cos\varphi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi $$ 而 $$ \int \cos\varphi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}\sin^2\varphi $$ 代入上下限： $$ \frac{1}{2}\left[\sin^2\varphi_0 - 0\right] = \frac{1}{2}\left(1 - \cos^2\varphi_0\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{h^2}{a^2}\right) $$ 所以 $$ I = 2\pi a^3 \cdot \frac{1}{2}\left(1 - \frac{h^2}{a^2}\right) = \pi a (a^2 - h^2) $$ **答案：** $$ \boxed{\pi a (a^2