📝 题目
3．当 $\Sigma$ 是 $x O y$ 面内的一个闭区域时，曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 与二重积分有什么关系？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 当曲面 $\Sigma$ 是 $xOy$ 面内的一个闭区域时，该曲面实际上位于平面 $z = 0$ 上，且其法向量垂直于 $z$ 轴，因此曲面积分可以转化为二重积分。具体推导如下：
设 $\Sigma$ 为 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$，则曲面的方程为 $z = 0$，且曲面面积元 $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{1+0+0}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$ 于是曲面积分 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \,\mathrm{d}S = \displaystyle{\iint}_{D} f(x, y, 0) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$ 因此，此时曲面积分退化为被积函数取 $z=0$ 后的二重积分。
难度评级：★☆☆☆☆