📝 题目
2．按对面积的曲面积分的定义证明公式
$$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\displaystyle{\iint}_{\Sigma_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} S+\displaystyle{\iint}_{\Sigma_{2}} f(x, y, z) \mathrm{d} S $$
其中 $\Sigma$ 是由 $\Sigma_{1}$ 和 $\Sigma_{2}$ 组成的．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明** 设曲面 $\Sigma$ 被分割为两个不相重叠（边界可能重合）的光滑曲面片 $\Sigma_1$ 与 $\Sigma_2$，即 $\Sigma = \Sigma_1 \cup \Sigma_2$，且 $\Sigma_1$ 与 $\Sigma_2$ 除公共边界外无其他公共内点。
根据对面积的曲面积分的定义，对于定义在 $\Sigma$ 上的连续函数 $f(x,y,z)$，有
$$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \, \Delta S_i, $$
其中 $\lambda$ 表示分割的小曲面片直径的最大值，$\Delta S_i$ 为第 $i$ 个小曲面片的面积，$(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 为其上任意取的点。
现在，将 $\Sigma$ 的分割细分为分别属于 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 的两部分。设属于 $\Sigma_1$ 的小曲面片指标集为 $I_1$，属于 $\Sigma_2$ 的为 $I_2$，则
$$ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \, \Delta S_i = \sum_{i \in I_1} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \, \Delta S_i + \sum_{i \in I_2} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \, \Delta S_i. $$
当分割无限加细时，分别取极限，即得
$$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i \in I_1} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \, \Delta S_i + \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i \in I_2} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \, \Delta S_i. $$
由曲面积分的定义，右边第一个极限就是 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma_1} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S$，第二个极限就是 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma_2} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S$。因此
$$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S = \displaystyle{\iint}_{\Sigma_1} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S + \displaystyle{\iint}_{\Sigma_2} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S. $$
证毕。
**难度评级**：★☆☆☆☆