📝 题目
1．设有一分布着质量的曲面 $\Sigma$ ，在点 $(x, y, z)$ 处它的面密度为 $\mu(x, y, z)$ ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 $x$ 轴的转动惯量．
💡 答案与解析
[AI解答]
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设曲面 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的面密度为 $\mu(x, y, z)$。 对于曲面上的一个面积微元 $\mathrm{d}S$，其质量为 $$ \mathrm{d}m = \mu(x, y, z)\,\mathrm{d}S. $$ 该微元到 $x$ 轴的距离平方为 $$ y^2 + z^2. $$ 因此，该微元对 $x$ 轴的转动惯量为 $$ \mathrm{d}I_x = (y^2 + z^2)\,\mathrm{d}m = (y^2 + z^2)\,\mu(x, y, z)\,\mathrm{d}S. $$ 将整个曲面上所有微元的贡献累加，即得曲面 $\Sigma$ 对 $x$ 轴的转动惯量 $$ I_x = \displaystyle{\iint_{\Sigma}} (y^2 + z^2)\,\mu(x, y, z)\,\mathrm{d}S. $$
难度：★★☆☆☆