📝 题目
1．设 $L$ 为 $x O y$ 面内直线 $x=a$ 上的一段，证明： $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 设直线段 $L$ 为 $x = a$ 上的一段，其参数方程可写为 $$ \begin{cases} x = a, \\ y = t, \quad t \in [\alpha, \beta], \end{cases} $$ 其中 $\alpha, \beta$ 为常数，表示该直线段的纵坐标范围。
则对坐标的曲线积分中，$\mathrm{d}x = 0$，因为 $x$ 为常数，其微分恒为零。于是 $$ \int_{L} P(x, y) \, \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} P(a, t) \cdot 0 \, \mathrm{d}t = 0. $$ 因此原式成立。
**难度评级**：★☆☆☆☆