📝 题目
2．设 $L$ 为 $x O y$ 面内 $x$ 轴上从点 $(a, 0)$ 到点 $(b, 0)$ 的一段直线，证明： $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} P(x, 0) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们设曲线 $L$ 是 $xOy$ 平面内 $x$ 轴上从点 $(a,0)$ 到点 $(b,0)$ 的一段直线。 在直线 $L$ 上，$y = 0$，且 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 变化。 对于第一类曲线积分（对坐标的曲线积分），其参数化可写为：
令 $$ x = t,\quad y = 0,\quad t \in [a,b] $$ 则 $$ \mathrm{d}x = \mathrm{d}t $$
于是 $$ \int_{L} P(x,y)\,\mathrm{d}x = \int_{t=a}^{b} P(t,0)\,\mathrm{d}t = \int_{a}^{b} P(x,0)\,\mathrm{d}x $$ 证毕。
难度：★☆☆☆☆