📝 题目
3．计算下列对坐标的曲线积分： （1） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,4)$ 的一段弧； （2）$\displaystyle{\oint}_{L} x y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为圆周 $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2} \quad(a\gt 0)$ 及 $x$ 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （3） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=R \cos t, y=R \sin t$ 上对应 $t$ 从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的一段弧； （4）$\displaystyle{\oint}_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$（按逆时针方向绕行）； （5） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x^{2} \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=k \theta, y=a \cos \theta, z=a \sin \theta$ 上对应 $\theta$ 从 0 到 $\pi$ 的一段弧； （6） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+(x+y-1) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是从点 $(1,1,1)$ 到点 $(2,3,4)$ 的一段直线； （7）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} \mathrm{d} x-\mathrm{d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为有向闭折线 $A B C A$ ，这里的 $A, B, C$ 依次为点 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们逐小题计算如下。
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### （1） 曲线 $L: y=x^2$，从 $(0,0)$ 到 $(2,4)$，参数化：$x$ 从 0 到 2，$y=x^2$，$dy=2x\,dx$，但这里只对 $dx$ 积分： $$ \int_{L}(x^2-y^2)\,dx = \int_{0}^{2} \bigl(x^2 - (x^2)^2\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} (x^2 - x^4)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{32}{5} = \frac{40 - 96}{15} = -\frac{56}{15}. $$
难度：★★☆☆☆
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### （2） 边界由圆周 $(x-a)^2+y^2=a^2$ 的上半部分和 $x$ 轴上的线段组成，逆时针方向。
- 圆弧段：参数化 $x=a+a\cos t,\; y=a\sin t$，$t$ 从 $\pi$ 到 $0$（因为逆时针在上半圆是从右向左），但注意第一象限内 $t$ 从 $\pi/2$ 到 $0$ 更合适。 取 $t:0\to\pi$ 为逆时针？检查：当 $t=0$ 时点为 $(2a,0)$，$t=\pi$ 时为 $(0,0)$，方向是上半圆从右到左，符合逆时针。 则 $dx = -a\sin t\,dt$， $$ \int_{\text{圆弧}} xy\,dx = \int_{0}^{\pi} (a+a\cos t)(a\sin t)(-a\sin t)\,dt = -a^3 \int_{0}^{\pi} (1+\cos t)\sin^2 t\,dt. $$ 利用 $\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$，展开： $$ (1+\cos t)\sin^2 t = \sin^2 t + \cos t \sin^2 t. $$ $\int_0^\pi \sin^2 t\,dt = \frac{\pi}{2}$， $\int_0^\pi \cos t \sin^2 t\,dt = 0$（奇对称于 $\pi/2$）， 所以圆弧部分积分 $= -a^3 \cdot \frac{\pi}{2}$。
- $x$ 轴段：从 $(0,0)$ 到 $(2a,0)$，$y=0$，$dy=0$，被积函数 $xy=0$，积分为 0。
因此总积分： $$ \oint_L xy\,dx = -\frac{\pi a^3}{2}. $$
难度：★★★☆☆
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### （3） 参数方程 $x=R\cos t,\; y=R\sin t$，$t:0\to \frac{\pi}{2}$， $dx = -R\sin t\,dt$，$dy = R\cos t\,dt$， $$ \int_L y\,dx + x\,dy = \int_0^{\pi/2} \bigl[ R\sin t(-R\sin t) + R\cos t(R\cos t) \bigr] dt = \int_0^{\pi/2} (-R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t) dt = R^2 \int_0^{\pi/2} \cos 2t\,dt = R^2 \left[ \frac{\sin 2t}{2} \right]_0^{\pi/2} = 0. $$
难度：★★☆☆☆
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### （4） 圆周 $x^2+y^2=a^2$，逆时针。参数化 $x=a\cos t,\; y=a\sin t$，$t:0\to 2\pi$， $dx = -a\sin t\,dt$，$dy = a\cos t\,dt$，分母 $x^2+y^2=a^2$。
被积表达式： $$ \frac{(x+y)dx - (x-y)dy}{a^2} = \frac{1}{a^2}\bigl[ (a\cos t + a\sin t)(-a\sin t) - (a\cos t - a\sin t)(a\cos t) \bigr] dt $$ 化简： $$ = \frac{1}{a^2} \bigl[ -a^2(\cos t+\sin t)\sin t - a^2(\cos t - \sin t)\cos t \bigr] dt = -\bigl[ (\cos t+\sin t)\sin t + (\cos t-\sin t)\cos t \bigr] dt. $$ 展开： $$ \cos t\sin t + \sin^2 t + \cos^2 t - \sin t\cos t = \sin^2 t + \cos^2 t = 1. $$ 因此被积函数为 $-1\,dt$，积分： $$ \oint_L \cdots = \int_0^{2\pi} (-1)\,dt = -2\pi. $$
难度：★★★☆☆
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### （5） 曲线 $\Gamma$：$x=k\theta,\; y=a\cos\theta,\; z=a\sin\theta$，$\theta:0\to\pi$， $dx = k\,d\theta$，$dy = -a\sin\theta\,d\theta$，$dz = a\cos\theta\,d\theta$。
被积式： $$ x^2 dx + z\,dy - y\,dz = (k\theta)^2 (k\,d\theta) + (a\sin\theta)(-a\sin\theta\,d\theta) - (a\cos\theta)(a\cos\theta\,d\theta) $$ $$ = k^3 \theta^2 d\theta - a^2\sin^2\theta\,d\theta - a^2\cos^2\theta\,d\theta = (k^3\theta^2 - a^2)\,d\theta. $$ 积分： $$ \int_0^\pi (k^3\theta^2 - a^2)\,d\theta = k^3 \cdot \frac{\pi^3}{3} - a^2\pi. $$
难度：★★☆☆☆
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### （6） 直线从 $(1,1,1)$ 到 $(2,3,4)$，参数化： $$ x=1+t,\; y=1+2t,\; z=1+3t,\quad t:0\to 1, $$ $dx=dt$，$dy=2dt$，$dz=3dt$。
被积式： $$ x\,dx + y\,dy + (x+y-1)dz = (1+t)dt + (1+2t)(2dt) + \bigl[(1+t)+(1+2t)-1\bigr](3dt) $$ 计算第三项：$(1+t+1+2t-1)=1+3t$，乘3得 $3+9t$。
总和： $$ (1+t) + (2+4t) + (3+9t) = 6 + 14t. $$ 积分： $$ \int_0^1 (6+14t)\,dt = \left[6t + 7t^2\right]_0^1 = 13. $$
难度：★★☆☆☆
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### （7） 折线 $A(1,0,0)\to B(0,1,0)\to C(0,0,1)\to A(1,0,0)$。
- $AB$：$x=1-t,\; y=t,\; z=0$，$t:0\to1$，$dx=-dt$，$dy=dt$，$dz=0$， 积分 $\int (dx - dy + y\,dz) = \int_0^1 (-dt - dt + 0) = -2$。
- $BC$：$x=0,\; y=1-t,\; z=t$，$t:0\to1$，$dx=0$，$dy=-dt$，$dz=dt$， 积分 $\int (0 - (-dt) + (1-t)dt) = \int_0^1 (dt + (1-t)dt) = \int_0^1 (2-t)dt = \left[2t - \frac{t^2}{2}\right]_0^1 = \frac{3}{2}$。
- $CA$：$x=t,\; y=0,\; z=1-t$，$t:0\to1$，$dx=dt$，$dy=0$，$dz=-dt$， 积分 $\int (dt - 0 + 0\cdot(-dt)) = \int_0^1 dt = 1$。
总和： $$ -2 + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2}. $$
难度：★★★