📝 题目
4．计算 $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是 （1）拋物线 $y^{2}=x$ 上从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的一段弧； （2）从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的直线段； （3）先沿直线从点 $(1,1)$ 到点 $(1,2)$ ，然后再沿直线到点 $(4,2)$ 的折线； （4）曲线 $x=2 t^{2}+t+1, y=t^{2}+1$ 上从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的一段弧．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：计算曲线积分 $$ I = \int_{L} (x+y)\,dx + (y-x)\,dy $$ 其中 $L$ 是不同路径，起点均为 $(1,1)$，终点均为 $(4,2)$。
我们先观察被积表达式是否与路径无关。设 $$ P(x,y) = x+y,\quad Q(x,y) = y-x $$ 计算 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -1 $$ 由于 $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$，积分与路径有关，需逐条计算。
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### （1）抛物线 $y^2 = x$ 从 $(1,1)$ 到 $(4,2)$
将 $x = y^2$，则 $dx = 2y\,dy$，$y$ 从 $1$ 到 $2$。 代入： $$ \begin{aligned} I_1 &= \int_{y=1}^{2} \big[(y^2 + y)\cdot 2y + (y - y^2)\big]\,dy \\ &= \int_{1}^{2} \big[2y^3 + 2y^2 + y - y^2\big]\,dy \\ &= \int_{1}^{2} \big[2y^3 + y^2 + y\big]\,dy \\ &= \left[ \frac{1}{2}y^4 + \frac{1}{3}y^3 + \frac{1}{2}y^2 \right]_{1}^{2} \end{aligned} $$ 计算： $$ y=2: \quad \frac{1}{2}\cdot 16 + \frac{1}{3}\cdot 8 + \frac{1}{2}\cdot 4 = 8 + \frac{8}{3} + 2 = 10 + \frac{8}{3} = \frac{38}{3} $$ $$ y=1: \quad \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} $$ 相减得： $$ I_1 = \frac{38}{3} - \frac{4}{3} = \frac{34}{3} $$
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### （2）从 $(1,1)$ 到 $(4,2)$ 的直线段
直线参数方程： $$ x = 1 + 3t,\quad y = 1 + t,\quad t:0\to 1 $$ 则 $dx = 3\,dt,\; dy = dt$，代入： $$ \begin{aligned} I_2 &= \int_{0}^{1} \big[(1+3t + 1+t)\cdot 3 + (1+t - (1+3t))\big]\,dt \\ &= \int_{0}^{1} \big[(2+4t)\cdot 3 + ( -2t)\big]\,dt \\ &= \int_{0}^{1} (6 + 12t - 2t)\,dt = \int_{0}^{1} (6 + 10t)\,dt \\ &= \left[6t + 5t^2\right]_{0}^{1} = 6 + 5 = 11 \end{aligned} $$
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### （3）折线：先竖直线 $(1,1)\to(1,2)$，再水平线 $(1,2)\to(4,2)$
**第一段**：$x=1$，$dx=0$，$y:1\to2$ $$ I_{3a} = \int_{y=1}^{2} (y - 1)\,dy = \left[\frac{1}{2}y^2 - y\right]_{1}^{2} = (2-2) - \left(\frac12 - 1\right) = 0 - \left(-\frac12\right) = \frac12 $$
**第二段**：$y=2$，$dy=0$，$x:1\to4$ $$ I_{3b} = \int_{x=1}^{4} (x+2)\,dx = \left[\frac12 x^2 + 2x\right]_{1}^{4} = (8+8) - \left(\frac12 + 2\right) = 16 - \frac52 = \frac{27}{2} $$
相加： $$ I_3 = \frac12 + \frac{27}{2} = \frac{28}{2} = 14 $$
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### （4）参数曲线 $x = 2t^2 + t + 1,\; y = t^2 + 1$，起点 $(1,1)$ 对应 $t=0$，终点 $(4,2)$ 对应 $t=1$。
求微分： $$ dx = (4t+1)\,dt,\quad dy = 2t\,dt $$ 代入： $$ \begin{aligned} I_4 &= \int_{0}^{1} \big[(2t^2+t+1 + t^2+1)(4t+1) + (t^2+1 - (2t^2+t+1))\cdot 2t\big]\,dt \\ &= \int_{0}^{1} \big[(3t^2 + t + 2)(4t+1) + (-t^2 - t)\cdot 2t\big]\,dt \end{aligned} $$ 先展开第一部分： $$ (3t^2 + t + 2)(4t+1) = 12t^3 + 3t^2 + 4t^2 + t + 8t + 2 = 12t^3 + 7t^2 + 9t + 2 $$ 第二部分： $$ (-t^2 - t)\cdot 2t = -2t^3 - 2t^2 $$ 相加得： $$ (12t^3 - 2t^3) + (7t^2 - 2t^2) + 9t + 2 = 10t^3 + 5t^2 + 9t + 2 $$ 积分： $$ I_4 = \int_{0}^{1} (10t^3 + 5t^2 + 9t + 2)\,dt = \left[ \frac{10}{4}t^4 + \frac{5}{3}t^3 + \frac{9}{2}t^2 + 2t \right]_{0}^{1} $$ $$ = \frac{5}{2} + \frac{5}{3} + \frac{9}{2} + 2 = \left(\frac{5}{2}+\frac{9}{2}\right) + \frac{5}{3} + 2 = 7 + \frac{5}{3} + 2 = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3} $$
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**最终结果**： $$ (1)\ \frac{34}{3},\quad (2)\ 11,\quad (3)\ 14,\quad (4)\ \frac{32}{3} $$
难度：★★☆☆☆ （计算量适中，但需仔细代入参数和展开多项式）