📝 题目
5．计算
$$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}(3 z+1) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$
其中 $\Sigma$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}, \\ x=0\end{array} \quad(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转曲面的左侧．
💡 答案与解析
[AI解答]
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本题要求计算第二类曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} (3z+1)x \, dy\,dz - dz\,dx + z \, dx\,dy $$ 其中 $\Sigma$ 是由曲线 $$ \begin{cases} z = \sqrt{y-1}, \\ x = 0 \end{cases} \quad (1 \le y \le 3) $$ 绕 $y$ 轴旋转一周得到的旋转曲面的左侧。
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**第一步：明确曲面方程与方向**
曲线在 $x=0$ 平面内，方程为 $z = \sqrt{y-1}$，绕 $y$ 轴旋转，则旋转曲面方程为 $$ x^2 + z^2 = y - 1, \quad 1 \le y \le 3. $$ 即 $$ y = x^2 + z^2 + 1. $$ 题目说取“左侧”，在第二类曲面积分中，左侧通常指法向量指向 $y$ 减小的方向（即与 $y$ 轴正向相反）。由于曲面方程显式为 $y = x^2+z^2+1$，可将其视为函数 $y = f(x,z)$，则法向量为 $$ \left(-\frac{\partial f}{\partial x},\, 1,\, -\frac{\partial f}{\partial z}\right) = (-2x,\, 1,\, -2z). $$ “左侧”意味着法向量的 $y$ 分量为负，因此我们取法向量为 $$ (2x,\, -1,\, 2z) $$ 即方向为 $(-2x,\, 1,\, -2z)$ 的反向，使得 $y$ 分量为 $-1$。
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**第二步：转化为二重积分**
第二类曲面积分的一般形式为 $$ \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy, $$ 这里 $$ P = (3z+1)x,\quad Q = -1,\quad R = z. $$ 利用投影到 $xz$ 平面计算。曲面可表示为 $y = x^2+z^2+1$，投影区域 $D$ 为 $$ x^2+z^2 \le 2 \quad (\text{因为 } 1\le y\le 3 \Rightarrow 0\le x^2+z^2\le 2). $$ 对于左侧，法向量 $y$ 分量为负，因此有转换公式： $$ dy\,dz = \left(-\frac{\partial y}{\partial x}\right) dx\,dz = -2x\,dx\,dz, $$ $$ dz\,dx = 1\cdot dx\,dz, $$ $$ dx\,dy = \left(-\frac{\partial y}{\partial z}\right) dx\,dz = -2z\,dx\,dz, $$ 注意这里符号由方向决定：左侧对应法向量 $(-y_x, 1, -y_z)$ 取反，得到 $(y_x, -1, y_z)$，因此 $$ dy\,dz = y_x\,dx\,dz = 2x\,dx\,dz, $$ $$ dz\,dx = -1\,dx\,dz, $$ $$ dx\,dy = y_z\,dx\,dz = 2z\,dx\,dz. $$ 我们采用后者（直接按左侧方向代入）。
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**第三步：代入被积表达式**
原积分为 $$ \iint_{\Sigma} (3z+1)x\,dy\,dz - dz\,dx + z\,dx\,dy. $$ 代入左侧对应的微分元： $$ dy\,dz = 2x\,dx\,dz,\quad dz\,dx = -dx\,dz,\quad dx\,dy = 2z\,dx\,dz. $$ 于是被积表达式变为 $$ (3z+1)x \cdot (2x\,dx\,dz) - (-dx\,dz) + z \cdot (2z\,dx\,dz) $$ $$ = \left[2x^2(3z+1) + 1 + 2z^2\right] dx\,dz. $$ 化简括号内： $$ 2x^2(3z+1) + 1 + 2z^2 = 6x^2z + 2x^2 + 1 + 2z^2. $$
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**第四步：在投影区域上积分**
投影区域 $D: x^2+z^2 \le 2$，采用极坐标： $$ x = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta,\quad dx\,dz = r\,dr\,d\theta, $$ 积分限 $0\le r\le\sqrt{2},\; 0\le\theta\le 2\pi$。
被积函数化为 $$ 6(r^2\cos^2\theta)(r\sin\theta) + 2r^2\cos^2\theta + 1 + 2r^2\sin^2\theta. $$ 即 $$ 6r^3\cos^2\theta\sin\theta + 2r^2\cos^2\theta + 1 + 2r^2\sin^2\theta. $$
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**第五步：逐项积分**
先对 $\theta$ 积分，注意 $\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\sin\theta\,d\theta = 0$（奇对称），所以第一项为零。
第二项： $$ \int_0^{2\pi} 2r^2\cos^2\theta\,d\theta = 2r^2 \cdot \pi = 2\pi r^2, $$ 因为 $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi$。
第三项：常数1积分得 $2\pi$。
第四项： $$ \int_0^{2\pi} 2r^2\sin^2\theta\,d\theta = 2r^2 \cdot \pi = 2\pi r^2. $$ 因此第二、四项合并为 $4\pi r^2$。
于是对 $\theta$ 积分后得到 $$ \int_0^{2\pi} (\cdots)\,d\theta = 4\pi r^2 + 2\pi. $$
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**第六步：对 $r$ 积分**
$$ \int_{0}^{\sqrt{2}} (4\pi r^2 + 2\pi)\, r\,dr = \int_0^{\sqrt{2}} (4\pi r^3 + 2\pi r)\, dr. $$ 计算： $$ \int_0^{\sqrt{2}} 4\pi r^3\,dr = 4\pi \cdot \frac{r^4}{4}\Big|_{0}^{\sqrt{2}} = \pi \cdot ( (\sqrt{2})^4 ) = \pi \cdot 4 = 4\pi, $$ $$ \int_0^{\sqrt{2}} 2\pi r\,dr = 2\pi \cdot \frac{r^2}{2}\Big|_{0}^{\sqrt{2}} = \pi \cdot 2 = 2\pi. $$ 总和为 $4\pi + 2\pi = 6\pi$。
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**最终结果** $$ \boxed{6\pi} $$
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**难度评级**：★★★☆☆ 需要理解旋转曲面方程、第二类曲面积分方向与投影转换，计算量中等，但思路清晰后步骤并不复杂。