📝 题目
4．求半径为 $a$ 、圆心角为 $2 \varphi$ 的均匀圆弧（线密度 $\mu=1$ ）的质心．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑半径为 $a$、圆心角为 $2\varphi$ 的均匀圆弧，线密度 $\mu = 1$。建立坐标系，使圆弧关于 $x$ 轴对称，圆心位于原点，弧的端点对应的角度分别为 $-\varphi$ 和 $\varphi$。
由于对称性，质心的纵坐标 $ \bar{y} = 0$，只需计算横坐标 $\bar{x}$。
设弧长为 $L$，则 $$ L = 2a\varphi $$ 质心横坐标公式为 $$ \bar{x} = \frac{1}{L} \int_{\text{弧}} x \, ds $$ 在极坐标下，圆弧上一点坐标为 $$ x = a\cos\theta,\quad ds = a\, d\theta $$ 积分范围为 $\theta \in [-\varphi, \varphi]$，于是 $$ \bar{x} = \frac{1}{2a\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} (a\cos\theta) \cdot a\, d\theta = \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \cos\theta \, d\theta $$ 由于 $\cos\theta$ 是偶函数，有 $$ \int_{-\varphi}^{\varphi} \cos\theta \, d\theta = 2\int_{0}^{\varphi} \cos\theta \, d\theta = 2\sin\varphi $$ 因此 $$ \bar{x} = \frac{a}{2\varphi} \cdot 2\sin\varphi = \frac{a\sin\varphi}{\varphi} $$ 所以质心坐标为 $$ \left( \frac{a\sin\varphi}{\varphi},\ 0 \right) $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及对称性简化与弧长积分，计算直接，但需理解质心公式与极坐标弧微分）