📝 题目
＊4．用根值审敛法判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n-1}\right)^{2 n-1}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}$ ，其中 $a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a$ 均为正数．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**根值审敛法**（柯西判别法）： 若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 满足 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$，则 - 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛； - 当 $\rho > 1$ 时，级数发散； - 当 $\rho = 1$ 时，无法判定。
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### （1）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}}$
令 $$ u_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n $$ 则 $$ \sqrt[n]{u_n} = \frac{n}{2n+1} $$ 取极限： $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} < 1 $$ 因此级数收敛。
**难度：★☆☆☆☆**
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### （2）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}}$
令 $$ u_n = \frac{1}{[\ln(n+1)]^n} $$ 则 $$ \sqrt[n]{u_n} = \frac{1}{\ln(n+1)} $$ 取极限： $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 < 1 $$ 因此级数收敛。
**难度：★☆☆☆☆**
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### （3）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n-1}\right)^{2 n-1}}$
令 $$ u_n = \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1} $$ 则 $$ \sqrt[n]{u_n} = \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}} $$ 化简指数： $$ \frac{2n-1}{n} = 2 - \frac{1}{n} $$ 于是 $$ \sqrt[n]{u_n} = \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2 - \frac{1}{n}} $$ 取极限： $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \left(\lim_{n\to\infty} \frac{n}{3n-1}\right)^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} < 1 $$ 因此级数收敛。
**难度：★★☆☆☆**
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### （4）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}}$，其中 $a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a$ 均为正数
令 $$ u_n = \left(\frac{b}{a_n}\right)^n $$ 则 $$ \sqrt[n]{u_n} = \frac{b}{a_n} $$ 取极限： $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \frac{b}{a} $$ 因此：
- 若 $\frac{b}{a} < 1$，即 $b < a$，则级数收敛； - 若 $\frac{b}{a} > 1$，即 $b > a$，则级数发散； - 若 $\frac{b}{a} = 1$，即 $b = a$，则根值审敛法失效，需另作判断。
**难度：★★☆☆☆**