第12章

1．写出下列级数的前五项： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{1+n^{2}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1 \times 3 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{5^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$ ．

2．根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ ； （2）$\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}+\cdots$ ； （3） $\sin \frac{\pi}{6}+\sin \frac{2 \pi}{6}+\cdots+\sin \frac{n \pi}{6}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ．

3．设级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 满足条件：（1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{k=1}^{\infty}\left(u_{2 k-1}+u_{2 k}\right)$ 收敛．证明：级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛．

4．判定下列级数的收敛性： （1）$-\frac{8}{9}+\frac{8^{2}}{9^{2}}-\frac{8^{3}}{9^{3}}+\cdots+(-1)^{n} \frac{8^{n}}{9^{n}}+\cdots$ ； （2）$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{3 n}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{3}}+\cdots$ ； （4）$\frac{3}{2}+\frac{3^{2}}{2^{2}}+\frac{3^{3}}{2^{3}}+\cdots+\frac{3^{n}}{2^{n}}+\cdots$ ； （5）$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)+\cdots$ ．

＊5．利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ； （2） $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{3 n-2}+\frac{1}{3 n-1}-\frac{1}{3 n}+\cdots$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3 n+1}+\frac{1}{3 n+2}-\frac{1}{3 n+3}\right)$ ．

1．以下各题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： （1）设 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收敛的正项级数，$b_{n}=\frac{1-\cos a_{n}}{a_{n}}, c_{n}=\frac{1-\cos \sqrt{a_{n}}}{\sqrt{a_{n}}}$ ．则有 ； （A）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 和 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均收敛 （B）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 敛散性不确定 （C）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 和 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均发散 （D）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 敛散性不确定 （2）设有两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ ，若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则有 ． （A）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛 （B）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散 （C）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 收敛时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 收敛 （D）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 发散时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 发散

2．用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性： （1） $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}+\cdots$ ； （2） $1+\frac{1+2}{1+2^{2}}+\frac{1+3}{1+3^{2}}+\cdots+\frac{1+n}{1+n^{2}}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{2 \times 5}+\frac{1}{3 \times 6}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+4)}+\cdots$ ； （4） $\sin \frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2^{2}}+\sin \frac{\pi}{2^{3}}+\cdots+\sin \frac{\pi}{2^{n}}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^{n}}(a\gt 0)$ ．

3．用比值审敛法判定下列级数的收敛性： （1）$\frac{3}{1 \times 2}+\frac{3^{2}}{2 \times 2^{2}}+\frac{3^{3}}{3 \times 2^{3}}+\cdots+\frac{3^{n}}{n \times 2^{n}}+\cdots$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} \times n!}{n^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$ ．

5．判定下列级数的收敛性： （1）$\frac{3}{4}+2\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+3\left(\frac{3}{4}\right)^{3}+\cdots+n\left(\frac{3}{4}\right)^{n}+\cdots$ ； （2）$\frac{1^{4}}{1!}+\frac{2^{4}}{2!}+\frac{3^{4}}{3!}+\cdots+\frac{n^{4}}{n!}+\cdots$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ ； （5）$\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\cdots+\sqrt{\frac{n+1}{n}}+\cdots$ ； （6）$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2 a+b}+\cdots+\frac{1}{n a+b}+\cdots \quad(a\gt 0, b\gt 0)$ ．

6．判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ （1） $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+\cdots$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n-1}}$ ； （3）$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \times \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2^{3}}-\frac{1}{3} \times \frac{1}{2^{4}}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{3} \times \frac{1}{2^{n}}+\cdots$ ； （4）$\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 5}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{\ln (n+1)}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n^{2}}}{n!}$ ．

＊4．用根值审敛法判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n-1}\right)^{2 n-1}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}$ ，其中 $a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a$ 均为正数．

1．下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： 已知 $\alpha\gt 0$ ，若幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+\alpha)^{n}$ 在 $x=0$ 处发散，在 $x=-2 \alpha$ 处收敛，则幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-\alpha)^{n}$ 的收敛域为 ． （A）$[-2 \alpha, 0)$ （B）$[0,2 \alpha)$ （C）$(-2 \alpha, 0]$ （D）$(0,2 \alpha]$

2．求下列幂级数的收敛区间： （1）$x+2 x^{2}+3 x^{3}+\cdots+n x^{n}+\cdots$ ； （2） $1-x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n^{2}}+\cdots$ ； （3）$\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{2 \times 4}+\frac{x^{3}}{2 \times 4 \times 6}+\cdots+\frac{x^{n}}{2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)}+\cdots$ ； （4）$\frac{x}{1 \times 3}+\frac{x^{2}}{2 \times 3^{2}}+\frac{x^{3}}{3 \times 3^{3}}+\cdots+\frac{x^{n}}{n \times 3^{n}}+\cdots$ ； （5）$\frac{2}{2} x+\frac{2^{2}}{5} x^{2}+\frac{2^{3}}{10} x^{3}+\cdots+\frac{2^{n}}{n^{2}+1} x^{n}+\cdots$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$ ．

3．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ ； （3）$x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(n+2) x^{n+3}$ ．

1．求函数 $f(x)=\cos x$ 的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这函数．

2．将下列函数展开成 $x$ 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） $\operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ； （2） $\ln (a+x) \quad(a\gt 0)$ ； （3）$a^{x} \quad(a\gt 0$ 且 $a \neq 1)$ ； （4） $\sin ^{2} x$ ； （5）$(1+x) \ln (1+x)$ ； （6）$\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ．

3．将下列函数展开成 $(x-1)$ 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）$\sqrt{x^{3}}$ ； （2） $\lg x$ ； （3）$x e^{x}$.

4．将函数 $f(x)=\cos x$ 展开成 $\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的幂级数．

5．将函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 展开成 $(x-3)$ 的幂级数．

6．将函数 $f(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x+2}$ 展开成 $(x+4)$ 的幂级数．

1．利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： （1） $\ln 3$（误差不超过 0.0001 ）； （2）$\sqrt{\mathrm{e}}$（误差不超过 0.001 ）； （3）$\sqrt[9]{522}$（误差不超过 0.000 01）； （4） $\cos 2^{\circ}$（误差不超过 0.0001 ）．

2．利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$（误差不超过 0.0001 ）； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d} x$（误差不超过 0.001 ）．

3．试用幂级数求下列各微分方程的解： （1）$y^{\prime}-x y-x=1$ ； （2）$y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0$ ； （3）$(1-x) y^{\prime}=x^{2}-y$ ．

4．试用幂级数求下列方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{\prime}=y^{2}+x^{3},\left.y\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ ； （2）$(1-x) y^{\prime}+y=1+x,\left.y\right|_{x=0}=0$ ．

5．验证函数 $y(x)=1+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots(-\infty\lt x\lt +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{x}$ ，并利用此结果求幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数．

6．利用欧拉公式将函数 $\mathrm{e}^{x} \cos x$ 展开成 $x$ 的幂级数．

1．已知函数序列 $s_{n}(x)=\sin \frac{x}{n}(n=1,2,3, \cdots)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛于 0 ， （1）问 $N(\varepsilon, x)$ 取多大，能使当 $n\gt N$ 时，$s_{n}(x)$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ； （2）证明 $s_{n}(x)$ 在任一有限区间 $[a, b]$ 上一致收敛．

2．已知级数 $x^{2}+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}+\cdots$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛． （1）求出该级数的和； （2）问 $N(\varepsilon, x)$ 取多大，能使当 $n\gt N$ 时，级数的余项 $r_{n}$ 的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ； （3）分别讨论级数在区间 $[0,1],\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上的一致收敛性．

3．按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}},(-\infty,+\infty)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}(1-x) x^{n},(0,1)$ ．

4．利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{2^{n}},(-\infty,+\infty)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}},(-\infty,+\infty)$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-n x},[0,+\infty)$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n!},(-10,10)$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(1-\mathrm{e}^{-n x}\right)}{n^{2}+x^{2}},[0,+\infty)$ ．

1．下列周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ，试将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数，如果 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 （1）$f(x)=3 x^{2}+1 \quad(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （2）$f(x)=\mathrm{e}^{2 x}(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （3）$f(x)=\left\{\begin{array}{l}b x,-\pi \leqslant x\lt 0, \\ a x, 0 \leqslant x\lt \pi(a, b \text { 为常数，且 } a\gt b\gt 0) .\end{array}\right.$

2．将下列函数 $f(x)$ 展开成傅里叶级数： （1）$f(x)=2 \sin \frac{x}{3}(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ； （2）$f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & -\pi \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi ;\end{cases}$ （3）$f(x)=x \sin x(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ．

3．将函数 $f(x)=\cos \frac{x}{2}(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成傅里叶级数．

4．设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，它在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 $$ f(x)= \begin{cases}-\frac{\pi}{2}, & -\pi \leqslant x\lt -\frac{\pi}{2} \\ x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x\lt \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2}, & \frac{\pi}{2} \leqslant x\lt \pi\end{cases} $$ 将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数．

5．将函数 $f(x)=\frac{\pi-x}{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成正弦级数．

6．将函数 $f(x)=2 x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 分别展开成正弦级数和余弦级数．

7．设周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ．证明： （1）若 $f(x-\pi)=-f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{0}=0, a_{2 k}=0, b_{2 k}=0(k=1,2, \cdots)$ ； （2）若 $f(x-\pi)=f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{2 k+1}=0, b_{2 k+1}=0 \quad(k=0,1,2, \cdots)$ ．

1．将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）： （1）$f(x)=1-x^{2}\left(-\frac{1}{2} \leqslant x\lt \frac{1}{2}\right)$ ； （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt \frac{1}{2}, \\ -1 & \frac{1}{2} \leqslant x\lt 1 ;\end{cases}$ （3）$f(x)= \begin{cases}2 x+1, & -3 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt 3 .\end{cases}$

2．将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数： （1）$f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leqslant x\lt \frac{l}{2}, \\ l-x, & \frac{l}{2} \leqslant x \leqslant l ;\end{cases}$ （2）$f(x)=x^{2} \quad(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ．

＊3．设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，它在 $[-1,1)$ 上的表达式为 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ ．试将 $f(x)$ 展开成复数形式的傅里叶级数．

＊4．设 $u(t)$ 是周期为 $T$ 的周期函数．已知它的傅里叶级数的复数形式为（参阅本节例题） $$ u(t)=\frac{h \tau}{T}+\frac{h}{\pi} \displaystyle{\sum}_{\substack{n=-\infty \\ n \neq 0}}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi \tau}{T} \mathrm{e}^{\frac{2 n \pi t}{T} \mathrm{i}} \quad(-\infty\lt t\lt +\infty) $$ 试写出 $u(t)$ 的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）．