📝 题目
1．下列周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ，试将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数，如果 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 （1）$f(x)=3 x^{2}+1 \quad(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （2）$f(x)=\mathrm{e}^{2 x}(-\pi \leqslant x\lt \pi)$ ； （3）$f(x)=\left\{\begin{array}{l}b x,-\pi \leqslant x\lt 0, \\ a x, 0 \leqslant x\lt \pi(a, b \text { 为常数，且 } a\gt b\gt 0) .\end{array}\right.$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：将周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 展开为傅里叶级数，区间为 $[-\pi, \pi)$。
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### （1）$f(x) = 3x^2 + 1,\quad -\pi \le x < \pi$
**步骤1：计算傅里叶系数**
周期 $T = 2\pi$，傅里叶级数形式： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) $$
系数公式： $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx $$ $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx $$ $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx $$
**计算 $a_0$**： $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (3x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ x^3 + x \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \left[ (\pi^3 + \pi) - (-\pi^3 - \pi) \right] = \frac{1}{\pi} (2\pi^3 + 2\pi) = 2\pi^2 + 2 $$
**计算 $a_n$**： 由于 $3x^2+1$ 是偶函数，$\cos(nx)$ 是偶函数，乘积为偶函数，所以： $$ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (3x^2+1) \cos(nx) \, dx $$ 分部积分： 令 $u = 3x^2+1$，$dv = \cos(nx) dx$，则 $du = 6x dx$，$v = \frac{\sin(nx)}{n}$。
$$ \int (3x^2+1) \cos(nx) dx = \frac{(3x^2+1)\sin(nx)}{n} - \int \frac{6x \sin(nx)}{n} dx $$ 再对 $\int x \sin(nx) dx$ 分部积分： 令 $u = x$，$dv = \sin(nx) dx$，得 $du = dx$，$v = -\frac{\cos(nx)}{n}$， $$ \int x \sin(nx) dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \int \frac{\cos(nx)}{n} dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} $$ 所以： $$ \int (3x^2+1) \cos(nx) dx = \frac{(3x^2+1)\sin(nx)}{n} - \frac{6}{n}\left( -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} \right) $$ $$ = \frac{(3x^2+1)\sin(nx)}{n} + \frac{6x \cos(nx)}{n^2} - \frac{6\sin(nx)}{n^3} $$
代入上下限 $0$ 到 $\pi$，在 $x=\pi$ 时 $\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$；在 $x=0$ 时 $\sin 0=0$，$\cos 0=1$，且 $x=0$ 时第二项为 $0$，所以： $$ \int_{0}^{\pi} (3x^2+1) \cos(nx) dx = \left[ 0 + \frac{6\pi (-1)^n}{n^2} - 0 \right] - \left[ 0 + 0 - 0 \right] = \frac{6\pi (-1)^n}{n^2} $$ 因此： $$ a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{6\pi (-1)^n}{n^2} = \frac{12 (-1)^n}{n^2} $$
**计算 $b_n$**： 由于 $3x^2+1$ 是偶函数，$\sin(nx)$ 是奇函数，乘积为奇函数，在对称区间积分为零： $$ b_n = 0 $$
**步骤2：写出傅里叶级数** $$ f(x) = \frac{2\pi^2+2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12 (-1)^n}{n^2} \cos(nx) $$ 即： $$ \boxed{f(x) = \pi^2 + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12 (-1)^n}{n^2} \cos(nx)} $$
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### （2）$f(x) = e^{2x},\quad -\pi \le x < \pi$
**计算 $a_0$**： $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} dx = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{e^{2x}}{2} \Big|_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2\pi} (e^{2\pi} - e^{-2\pi}) = \frac{\sinh(2\pi)}{\pi} $$
**计算 $a_n$**： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \cos(nx) dx $$ 利用公式： $$ \int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2+b^2} $$ 这里 $a=2, b=n$，所以： $$ \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \cos(nx) dx = \left[ \frac{e^{2x}(2\cos(nx) + n\sin(nx))}{4+n^2} \right]_{-\pi}^{\pi} $$ 在 $x=\pi$ 时 $\cos(n\pi)=(-1)^n$，$\sin(n\pi)=0$；在 $x=-\pi$ 时 $\cos(-n\pi)=(-1)^n$，$\sin(-n\pi)=0$，所以： $$ = \frac{e^{2\pi} \cdot 2(-1)^n}{4+n^2} - \frac{e^{-2\pi} \cdot 2(-1)^n}{4+n^2} = \frac{2(-1)^n}{4+n^2} (e^{2\pi} - e^{-2\pi}) = \frac{4(-1)^n \sinh(2\pi)}{4+n^2} $$ 因此： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{4(-1)^n \sinh(2\pi)}{4+n^2} = \frac{4(-1)^n \sinh(2\pi)}{\pi(4+n^2)} $$
**计算 $b_n$**： $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \sin(nx) dx $$ 公式： $$ \int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2+b^2} $$ 代入： $$ \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \sin(nx) dx = \left[ \frac{e^{2x}(2\sin(nx) - n\cos(nx))}{4+n^2} \right]_{-\pi}^{\pi} $$ 在 $x=\pi$：$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$，得 $-\frac{n(-1)^n e^{2\pi}}{4+n^2}$ 在 $x=-\pi$：$\sin(-n\pi)=0$，$\cos(-n\pi)=(-1)^n$，得 $-\frac{n(-1)^n e^{-2\pi}}{4+n^2}$ 相减： $$ -\frac{n(-1)^n e^{2\pi}}{4+n^2} + \frac{n(-1)^n e^{-2\pi}}{4+n^2} = -\frac{n(-1)^n}{4+n^2}(e^{2\pi} - e^{-2\pi}) = -\frac{2n(-1)^n \sinh(2\pi)}{4+n^2} $$ 因此： $$ b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \left( -\frac{2n(-1)^n \sinh(2\pi)}{4+n^2} \right) =