第12章 · 第12-7-2题

[AI解答]

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**（1）** $f(x)=2\sin\frac{x}{3},\quad -\pi\leqslant x\leqslant\pi$

由于$f(x)$是奇函数，傅里叶级数只有正弦项。周期$T=2\pi$，$\omega=\frac{2\pi}{T}=1$，因此傅里叶系数： $$ a_n=0,\quad b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin\frac{x}{3}\sin(nx)\,dx $$ 利用积化和差： $$ \sin\frac{x}{3}\sin(nx)=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{x}{3}-nx\right)-\cos\left(\frac{x}{3}+nx\right)\right] $$ 因此 $$ b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\cos\left(\left(\frac{1}{3}-n\right)x\right)-\cos\left(\left(\frac{1}{3}+n\right)x\right)\right]dx $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\begin{cases} \pi,&k=0,\\ \frac{\sin(k\pi)}{k},&k\neq0 \end{cases} $$ 当$n$为正整数时，$\frac13\pm n\neq0$，且$\sin\left((\frac13\pm n)\pi\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\pm n\pi\right)$ 利用$\sin(\frac{\pi}{3}+n\pi)=(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}$，$\sin(\frac{\pi}{3}-n\pi)=(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}$，所以： $$ b_n=\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin((\frac13-n)\pi)}{\frac13-n}-\frac{\sin((\frac13+n)\pi)}{\frac13+n}\right] =\frac{2}{\pi}\cdot(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}\left[\frac{1}{\frac13-n}-\frac{1}{\frac13+n}\right] $$ 化简括号内： $$ \frac{1}{\frac13-n}-\frac{1}{\frac13+n} =\frac{(\frac13+n)-(\frac13-n)}{\frac19-n^2} =\frac{2n}{\frac19-n^2} $$ 因此 $$ b_n=\frac{2}{\pi}\cdot(-1)^n\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2n}{\frac19-n^2} =\frac{2\sqrt3\,n\,(-1)^n}{\pi\left(\frac19-n^2\right)} $$ 所以傅里叶级数为： $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\sqrt3\,n\,(-1)^n}{\pi\left(\frac19-n^2\right)}\sin(nx),\quad x\in(-\pi,\pi) $$

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**（2）** $$ f(x)=\begin{cases} e^x,&-\pi\leqslant x<0,\\ 1,&0\leqslant x\leqslant\pi \end{cases} $$ 周期$2\pi$，计算系数： $$ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}e^xdx+\int_{0}^{\pi}1\,dx\right) =\frac{1}{\pi}\left[(1-e^{-\pi})+\pi\right]=1+\frac{1-e^{-\pi}}{\pi} $$ 对于$n\geqslant1$： $$ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx =\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{0}e^x\cos(nx)dx+\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx\right] $$ 第二个积分为0。第一个积分： $$ \int e^x\cos(nx)dx=\frac{e^x}{1+n^2}(\cos(nx)+n\sin(nx)) $$ 代入上下限$0$和$-\pi$： $$ \int_{-\pi}^{0}e^x\cos(nx)dx=\frac{1}{1+n^2}\left[1-e^{-\pi}(\cos(n\pi)-n\sin(n\pi))\right] $$ 由于$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$，得： $$ =\frac{1-(-1)^n e^{-\pi}}{1+n^2} $$ 因此 $$ a_n=\frac{1-(-1)^n e^{-\pi}}{\pi(1+n^2)} $$ 同理， $$ b_n=\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{0}e^x\sin(nx)dx+\int_{0}^{\pi}\sin(nx)dx\right] $$ 第二个积分为$\frac{1-(-1)^n}{n}$。第一个积分： $$ \int e^x\sin(nx)dx=\frac{e^x}{1+n^2}(\sin(nx)-n\cos(nx)) $$ 代入上下限： $$ \int_{-\pi}^{0}e^x\sin(nx)dx=\frac{1}{1+n^2}\left[0- e^{-\pi}(\sin(-n\pi)-n\cos(-n\pi))\right] $$ 由于$\sin(-n\pi)=0$，$\cos(-n\pi)=(-1)^n$，得： $$ =\frac{-(-1)^n n e^{-\pi}}{1+n^2} $$ 所以 $$ b_n=\frac{1}{\pi}\left[\frac{-(-1)^n n e^{-\pi}}{1+n^2}+\frac{1-(-1)^n}{n}\right] $$ 因此傅里叶级数为： $$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right) $$ 其中$a_0,a_n,b_n$如上。

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**（3）** $f(x)=x\sin x,\quad -\pi\leqslant x\leqslant\pi$

$f(x)$是偶函数（因为$x\sin x$偶），所以$b_n=0$。 $$ a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx $$ 用分部积分：令$u=x,dv=\sin x dx$，得： $$ \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x $$ 所以 $$ a_0=\frac{2}{\pi}\left[-x\cos x+\sin x\right]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\left[-\pi(-1)+0-(0+0)\right]=\frac{2}{\pi}\cdot\pi=2 $$ 对于$n\geqslant1$： $$ a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos(nx)\,dx $$ 利用积化和差： $$ \sin x\cos(nx)=\frac12[\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)] $$ 所以 $$ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\left[\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)\right]dx $$ 分别计算$\int_{0}^{\pi}x\sin(kx)dx$，$k$整数且$k\neq0$： $$ \int x\sin(kx)dx=-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^2} $$ 代入上下限： 当$k\neq0$时： $$ \int_{0}^{\pi}x\sin(kx)dx=-\frac{\pi\cos(k\pi)}{k}+\frac{\sin(k\pi)}{k^2}-0 =-\frac{\pi(-1)^k}{k} $$ 因此： - 若$n\neq1$，则$n+1\neq0$且$n-1\neq0$，得： $$ a_n=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n+1}+\frac{\pi(-1)^{n-1}}{n-1}\right] =(-1)^{n}\left[\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right] $$ 化简： $$ \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}=\frac{(n-1)-(n+1)}{n^2-1}=\frac{-2}{n^2-1} $$ 所以 $$ a_n=(-1)^{n}\cdot\frac{-2}{n^2-1}=\frac{2(-1)^{n+1}}{n^2-1},\quad n\neq1 $$ - 当$n=1$时，$n-1=0$，需单独计算： $$ a_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos x\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(2x)dx $$ 计算： $$ \int x\sin(2x)dx=-\frac{x\cos(2x)}{2}+\frac{\sin(2x)}{4} $$ 代入上下限： $$ \int_{0}^{\pi}x\sin(2x)dx=-\frac{\pi\cos(2\pi)}{2}+0-0=-\frac{\pi}{2} $$ 因此 $$ a_1=\frac{1}{\pi}\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac12 $$ 所以傅里叶级数为： $$ f(x)=1+\left(-\frac12\right)\cos x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1