📝 题目
1．下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：
已知 $\alpha\gt 0$ ，若幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+\alpha)^{n}$ 在 $x=0$ 处发散，在 $x=-2 \alpha$ 处收敛，则幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-\alpha)^{n}$ 的收敛域为 ． （A）$[-2 \alpha, 0)$ （B）$[0,2 \alpha)$ （C）$(-2 \alpha, 0]$ （D）$(0,2 \alpha]$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $\alpha > 0$，幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+\alpha)^{n}}$ 在 $x=0$ 处发散，在 $x=-2\alpha$ 处收敛。
首先，令 $t = x + \alpha$，则原级数变为 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n}}$。 - 当 $x=0$ 时，$t = \alpha$，级数发散，说明 $t=\alpha$ 在收敛域之外。 - 当 $x=-2\alpha$ 时，$t = -\alpha$，级数收敛，说明 $t=-\alpha$ 在收敛域之内。
因此，对于级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n}}$，其收敛区间关于 $t=0$ 对称，且已知 $t=-\alpha$ 收敛，$t=\alpha$ 发散，所以收敛半径 $R = \alpha$，且收敛域为 $(-\alpha, \alpha]$ 或 $[-\alpha, \alpha)$ 需由端点判断。已知 $t=-\alpha$ 收敛，$t=\alpha$ 发散，所以收敛域为 $[-\alpha, \alpha)$。
现在考虑第二个幂级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-\alpha)^{n}}$。 令 $u = x - \alpha$，则级数变为 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} u^{n}}$，与上面是同一形式，因此收敛半径也是 $R = \alpha$，且收敛域为 $u \in [-\alpha, \alpha)$。 代回 $u = x - \alpha$，得 $$ -\alpha \le x - \alpha < \alpha $$ 即 $$ 0 \le x < 2\alpha $$ 所以收敛域为 $[0, 2\alpha)$。
对照选项，正确答案为（B）。
难度：★★☆☆☆