📝 题目
2．求下列幂级数的收敛区间： （1）$x+2 x^{2}+3 x^{3}+\cdots+n x^{n}+\cdots$ ； （2） $1-x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n^{2}}+\cdots$ ； （3）$\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{2 \times 4}+\frac{x^{3}}{2 \times 4 \times 6}+\cdots+\frac{x^{n}}{2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)}+\cdots$ ； （4）$\frac{x}{1 \times 3}+\frac{x^{2}}{2 \times 3^{2}}+\frac{x^{3}}{3 \times 3^{3}}+\cdots+\frac{x^{n}}{n \times 3^{n}}+\cdots$ ； （5）$\frac{2}{2} x+\frac{2^{2}}{5} x^{2}+\frac{2^{3}}{10} x^{3}+\cdots+\frac{2^{n}}{n^{2}+1} x^{n}+\cdots$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各幂级数收敛区间的求解过程。
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**(1)** 幂级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} $$ 使用比值审敛法： $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} |x| = |x| $$ 收敛半径 $R=1$。 当 $x=1$ 时，级数为 $\sum n$ 发散； 当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum (-1)^n n$ 发散。 因此收敛区间为 $(-1,1)$。
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**(2)** 幂级数： $$ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n^2} $$ 注意首项 $n=0$ 为 $1$，但系数分母 $n^2$ 在 $n=0$ 无定义，实际应从 $n=1$ 开始，但题目写法为 $1 - x + \frac{x^2}{2^2} - \cdots$，故可视为 $n=0$ 时系数为 $1$，但用审敛法时从 $n\ge1$ 考虑。 $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} |x| = |x| $$ 收敛半径 $R=1$。 当 $x=1$：$\sum (-1)^n \frac{1}{n^2}$ 绝对收敛； 当 $x=-1$：$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛。 因此收敛区间为 $[-1,1]$。
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**(3)** 幂级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2^n n!} $$ 因为 $(2n)!! = 2^n n!$。 $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n n!}{2^{n+1}(n+1)!} |x| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|}{2(n+1)} = 0 $$ 收敛半径 $R = +\infty$，收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。
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**(4)** 幂级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 3^n} $$ $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n \cdot 3^n}{(n+1)3^{n+1}} |x| = \frac{|x|}{3} $$ 收敛半径 $R=3$。 当 $x=3$：$\sum \frac{1}{n}$ 发散； 当 $x=-3$：$\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 条件收敛。 因此收敛区间为 $[-3,3)$。
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**(5)** 幂级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} x^n $$ $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)^2+1} \cdot \frac{n^2+1}{2^n} |x| = 2|x| $$ 收敛半径 $R=\frac12$。 当 $x=\frac12$：$\sum \frac{1}{n^2+1}$ 收敛； 当 $x=-\frac12$：$\sum (-1)^n \frac{1}{n^2+1}$ 绝对收敛。 因此收敛区间为 $\left[-\frac12,\frac12\right]$。
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**(6)** 幂级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $$ 令 $t=x^2$，则级数变为 $x \sum (-1)^n \frac{t^n}{2n+1}$。 对系数： $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n+3} |t| = |t| $$ 所以 $|t|<1$ 即 $|x|<1$。 当 $x=1$：$\sum (-1)^n \frac{1}{2n+1}$ 条件收敛； 当 $x=-1$：同样条件收敛。 因此收敛区间为 $[-1,1]$。
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**(7)** 幂级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} x^{2n-2} $$ 令 $t=x^2$，则级数为 $\sum \frac{2n-1}{2^n} t^{n-1}$。 $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{2n-1} |t| = \frac{|t|}{2} $$ 所以 $|t|<2$ 即 $|x|<\sqrt{2}$。 当 $x=\pm\sqrt{2}$：通项 $\frac{2n-1}{2^n} (\sqrt{2})^{2n-2} = \frac{2n-1}{2^n} \cdot 2^{n-1} = \frac{2n-1}{2}$ 发散。 因此收敛区间为 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。
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**(8)** 幂级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^n}{\sqrt{n}} $$ $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} |x-5| = |x-5| $$ 收敛半径 $R=1$，中心 $x=5$。 当 $x-5=1$ 即 $x=6$：$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散； 当 $x-5=-1$ 即 $x=4$：$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 条件收敛。 因此收敛区间为 $[4,6)$。
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**难度评级：★★☆☆☆**