📝 题目
3．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ ； （3）$x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(n+2) x^{n+3}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的和函数。
首先考虑幂级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{1-x},\quad |x|<1. $$ 两边对 $x$ 逐项求导： $$ \frac{d}{dx}\left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}. $$ 右边即为所求级数，左边求导得 $$ \frac{d}{dx}\left( \frac{x}{1-x} \right) = \frac{1}{(1-x)^2}. $$ 因此和函数为 $$ S(x) = \frac{1}{(1-x)^2},\quad |x|<1. $$
**（2）** 求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ 的和函数。
考虑级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{4n} = \frac{x^4}{1-x^4},\quad |x|<1. $$ 两边乘以 $x$ 得 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{4n+1} = \frac{x^5}{1-x^4}. $$ 对 $x$ 从 $0$ 到 $x$ 逐项积分： $$ \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} t^{4n} \, dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}. $$ 左边积分： $$ \int_0^x \frac{t^4}{1-t^4} \, dt = \int_0^x \left( -1 + \frac{1}{1-t^4} \right) dt = -x + \int_0^x \frac{1}{1-t^4} dt. $$ 而 $$ \frac{1}{1-t^4} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-t^2} + \frac{1}{1+t^2} \right) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} \right) \cdot \frac{1}{2}? $$ 更准确分解： $$ \frac{1}{1-t^4} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} + \frac{2}{1+t^2} \right). $$ 积分得 $$ \int_0^x \frac{1}{1-t^4} dt = \frac{1}{4}\left( -\ln|1-x| + \ln|1+x| + 2\arctan x \right). $$ 因此和函数为 $$ S(x) = -x + \frac{1}{4}\ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{1}{2}\arctan x,\quad |x|<1. $$
**（3）** 求 $x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots$ 的和函数。
这是 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}. $$ 考虑几何级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{2n-2} = \frac{1}{1-x^2},\quad |x|<1. $$ 两边从 $0$ 到 $x$ 积分： $$ \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} t^{2n-2} dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}. $$ 左边积分： $$ \int_0^x \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}. $$ 因此和函数为 $$ S(x) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\quad |x|<1. $$
**（4）** 求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(n+2) x^{n+3}$ 的和函数。
先改写： $$ \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n+3} = x^3 \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n}. $$ 考虑 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+2} = \frac{x^3}{1-x},\quad |x|<1. $$ 两边求导： $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{1-x} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n+1}. $$ 左边求导： $$ \frac{3x^2(1-x) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2}. $$ 因此 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n+1} = \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2}. $$ 两边乘以 $x^2$ 得 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n+3} = \frac{3x^4 - 2x^5}{(1-x)^2},\quad |x|<1. $$
难度评级：★★★☆☆