📝 题目
2．根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ ； （2）$\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}+\cdots$ ； （3） $\sin \frac{\pi}{6}+\sin \frac{2 \pi}{6}+\cdots+\sin \frac{n \pi}{6}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
先求部分和： $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) $$ 这是一个 telescoping sum（裂项相消），展开得： $$ S_n = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{n+1} - 1 $$ 因此： $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - 1) = +\infty $$ 部分和极限不存在（趋于无穷），故级数发散。
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**（2）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
先分解： $$ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) $$ 部分和： $$ S_n = \frac{1}{2}\left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right] $$ 中间项全部抵消，得： $$ S_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) $$ 取极限： $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} $$ 故级数收敛，和为 $\frac12$。
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**（3）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n\pi}{6}$
通项为 $\sin\frac{n\pi}{6}$，当 $n$ 增大时，其值不趋于 0（例如 $n=1$ 时为 $1/2$，$n=3$ 时为 $1$，$n=6$ 时为 $0$，$n=7$ 时又为 $1/2$，周期循环）。 由于 $\lim_{n\to\infty} \sin\frac{n\pi}{6}$ 不存在且不为 0，由级数收敛的必要条件（通项趋于 0）可知该级数发散。
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**（4）** $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$
先求部分和： $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \sum_{k=1}^{n} \ln\frac{k+1}{k} $$ 利用对数性质： $$ S_n = \ln\left( \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{n+1}{n} \right) = \ln(n+1) $$ 于是： $$ \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \ln(n+1) = +\infty $$ 部分和发散到无穷，故级数发散。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要是裂项与对数求和技巧，属于基础级数收敛性判断，但需注意通项是否趋于零的检验）