📝 题目
1．写出下列级数的前五项： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{1+n^{2}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1 \times 3 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{5^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们依次写出每个级数的前五项，即取 $n=1,2,3,4,5$ 代入通项公式。
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（1）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{1+n^{2}}}$ 通项：$a_n = \frac{1+n}{1+n^2}$ - $n=1$：$\frac{1+1}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$ - $n=2$：$\frac{1+2}{1+4} = \frac{3}{5}$ - $n=3$：$\frac{1+3}{1+9} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ - $n=4$：$\frac{1+4}{1+16} = \frac{5}{17}$ - $n=5$：$\frac{1+5}{1+25} = \frac{6}{26} = \frac{3}{13}$
前五项： $$ 1,\ \frac{3}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{5}{17},\ \frac{3}{13} $$
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（2）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \times 3 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)}}$ 通项：$a_n = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ - $n=1$：$\frac{1}{2}$ - $n=2$：$\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4} = \frac{3}{8}$ - $n=3$：$\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$ - $n=4$：$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8} = \frac{105}{384} = \frac{35}{128}$ - $n=5$：$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10} = \frac{945}{3840} = \frac{63}{256}$
前五项： $$ \frac{1}{2},\ \frac{3}{8},\ \frac{5}{16},\ \frac{35}{128},\ \frac{63}{256} $$
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（3）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{5^{n}}}$ 通项：$a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{5^n}$ - $n=1$：$\frac{(-1)^0}{5} = \frac{1}{5}$ - $n=2$：$\frac{(-1)^1}{25} = -\frac{1}{25}$ - $n=3$：$\frac{(-1)^2}{125} = \frac{1}{125}$ - $n=4$：$\frac{(-1)^3}{625} = -\frac{1}{625}$ - $n=5$：$\frac{(-1)^4}{3125} = \frac{1}{3125}$
前五项： $$ \frac{1}{5},\ -\frac{1}{25},\ \frac{1}{125},\ -\frac{1}{625},\ \frac{1}{3125} $$
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（4）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}}$ 通项：$a_n = \frac{n!}{n^n}$ - $n=1$：$\frac{1!}{1^1} = 1$ - $n=2$：$\frac{2!}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ - $n=3$：$\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ - $n=4$：$\frac{24}{256} = \frac{3}{32}$ - $n=5$：$\frac{120}{3125} = \frac{24}{625}$
前五项： $$ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{9},\ \frac{3}{32},\ \frac{24}{625} $$
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难度评级：★☆☆☆☆ （仅代入数值计算，无复杂运算或证明）