📝 题目
1．以下各题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： （1）设 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收敛的正项级数，$b_{n}=\frac{1-\cos a_{n}}{a_{n}}, c_{n}=\frac{1-\cos \sqrt{a_{n}}}{\sqrt{a_{n}}}$ ．则有 ； （A）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 和 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均收敛 （B）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 敛散性不确定 （C）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 和 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均发散 （D）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 敛散性不确定 （2）设有两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ ，若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则有 ． （A）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛 （B）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散 （C）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 收敛时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 收敛 （D）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 发散时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 发散
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题12-2 第（1）题**
已知 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_n$ 是收敛的正项级数，因此 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n = 0}$，且 $a_n > 0$。
考虑 $b_n = \frac{1 - \cos a_n}{a_n}$。 利用等价无穷小：当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，因此 $$ b_n = \frac{1 - \cos a_n}{a_n} \sim \frac{\frac{a_n^2}{2}}{a_n} = \frac{a_n}{2}. $$ 由于 $\displaystyle{\sum} a_n$ 收敛，由比较判别法知 $\displaystyle{\sum} b_n$ 收敛。
考虑 $c_n = \frac{1 - \cos \sqrt{a_n}}{\sqrt{a_n}}$。 同样，当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，令 $x = \sqrt{a_n}$，则 $$ c_n \sim \frac{\frac{(\sqrt{a_n})^2}{2}}{\sqrt{a_n}} = \frac{a_n}{2\sqrt{a_n}} = \frac{\sqrt{a_n}}{2}. $$ 由于 $\displaystyle{\sum} a_n$ 收敛，但 $\sqrt{a_n}$ 可能比 $a_n$ 衰减更慢，例如取 $a_n = \frac{1}{n^2}$，则 $\sqrt{a_n} = \frac{1}{n}$，此时 $\displaystyle{\sum} \frac{1}{n}$ 发散，因此 $\displaystyle{\sum} c_n$ 可能发散。 实际上，$\displaystyle{\sum} a_n$ 收敛不能保证 $\displaystyle{\sum} \sqrt{a_n}$ 收敛，故 $\displaystyle{\sum} c_n$ 敛散性不确定。
因此正确选项为 **(B)**：$\displaystyle{\sum} b_n$ 收敛，$\displaystyle{\sum} c_n$ 敛散性不确定。
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**习题12-2 第（2）题**
已知 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n = 0}$。
逐一分析选项：
- (A) 错误。反例：取 $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，$b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则 $\displaystyle{\sum} b_n$ 收敛（交错级数），但 $a_n b_n = \frac{1}{n}$，$\displaystyle{\sum} \frac{1}{n}$ 发散。 - (B) 错误。反例：取 $a_n = \frac{1}{n}$，$b_n = 1$，则 $\displaystyle{\sum} b_n$ 发散，但 $a_n b_n = \frac{1}{n}$，$\displaystyle{\sum} \frac{1}{n}$ 发散，但若取 $a_n = \frac{1}{n^2}$，$b_n = n$，则 $\displaystyle{\sum} b_n$ 发散，而 $a_n b_n = \frac{1}{n}$ 仍发散，但更一般的反例：$a_n = \frac{1}{n}$，$b_n = 0$ 时发散级数乘以趋于0的数列可能收敛，但这里 $b_n$ 发散，$a_n b_n$ 可能收敛，例如 $a_n = \frac{1}{n}$，$b_n = (-1)^n$，$\displaystyle{\sum} b_n$ 发散，但 $a_n b_n = \frac{(-1)^n}{n}$ 收敛，故(B)不成立。 - (C) 正确。若 $\displaystyle{\sum} |b_n|$ 收敛，且 $|a_n|$ 有界（因为 $a_n \to 0$，故存在 $M$ 使得 $|a_n| \le M$），则 $|a_n b_n| \le M |b_n|$，由比较判别法知 $\displaystyle{\sum} |a_n b_n|$ 收敛。 - (D) 错误。反例：取 $a_n = \frac{1}{n}$，$b_n = 1$，则 $\displaystyle{\sum} |b_n|$ 发散，但 $|a_n b_n| = \frac{1}{n}$ 发散，但若取 $a_n = \frac{1}{n^2}$，$b_n = n$，则 $\displaystyle{\sum} |b_n|$ 发散，而 $|a_n b_n| = \frac{1}{n}$ 仍发散，但更精细的反例：$a_n = 0$，则无论 $b_n$ 如何，$|a_n b_n| = 0$ 收敛，故(D)不一定成立。
因此正确选项为 **(C)**。
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**最终答案** （1）B （2）C
难度：★★☆☆☆