📝 题目
2．用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性： （1） $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}+\cdots$ ； （2） $1+\frac{1+2}{1+2^{2}}+\frac{1+3}{1+3^{2}}+\cdots+\frac{1+n}{1+n^{2}}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{2 \times 5}+\frac{1}{3 \times 6}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+4)}+\cdots$ ； （4） $\sin \frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2^{2}}+\sin \frac{\pi}{2^{3}}+\cdots+\sin \frac{\pi}{2^{n}}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^{n}}(a\gt 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐题用比较审敛法或其极限形式判定收敛性。
---
### （1） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} $$ 通项 $u_n = \frac{1}{2n-1}$，当 $n\to\infty$ 时， $$ u_n \sim \frac{1}{2n} $$ 而调和级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}$ 发散，故由极限形式的比较审敛法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n-1} = \frac12 > 0 $$ 因此原级数发散。
**难度：★☆☆☆☆**
---
### （2） 通项 $$ u_n = \frac{1+n}{1+n^2} $$ 当 $n\to\infty$ 时， $$ u_n \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} $$ 取 $v_n = \frac{1}{n}$，则 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(1+n)n}{1+n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{n^2+1} = 1 > 0 $$ 而 $\displaystyle{\sum \frac{1}{n}}$ 发散，故原级数发散。
**难度：★★☆☆☆**
---
### （3） 通项 $$ u_n = \frac{1}{(n+1)(n+4)} $$ 当 $n\to\infty$ 时， $$ u_n \sim \frac{1}{n^2} $$ 取 $v_n = \frac{1}{n^2}$，则 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{(n+1)(n+4)} = 1 > 0 $$ 而 $p$-级数 $\displaystyle{\sum \frac{1}{n^2}}$ 收敛（$p=2>1$），故原级数收敛。
**难度：★★☆☆☆**
---
### （4） 通项 $$ u_n = \sin\frac{\pi}{2^n} $$ 当 $n\to\infty$ 时，$\frac{\pi}{2^n} \to 0$，利用等价无穷小 $\sin x \sim x$，得 $$ u_n \sim \frac{\pi}{2^n} $$ 取 $v_n = \frac{1}{2^n}$，则 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \pi > 0 $$ 而 $\displaystyle{\sum \frac{1}{2^n}}$ 是公比 $r=\frac12<1$ 的几何级数，收敛，故原级数收敛。
**难度：★★☆☆☆**
---
### （5） 通项 $$ u_n = \frac{1}{1+a^n}, \quad a>0 $$ 分情况：
- 若 $0 < a < 1$，则 $a^n \to 0$，于是 $$ u_n \to 1 \neq 0 $$ 由级数收敛的必要条件，级数发散。
- 若 $a = 1$，则 $$ u_n = \frac{1}{2} $$ 通项不趋于0，发散。
- 若 $a > 1$，则当 $n\to\infty$ 时， $$ u_n \sim \frac{1}{a^n} $$ 取 $v_n = \frac{1}{a^n}$，则 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{1+a^n} = 1 > 0 $$ 而 $\displaystyle{\sum \frac{1}{a^n}}$ 是公比 $r=\frac{1}{a}<1$ 的几何级数，收敛，故原级数收敛。
综上： - 当 $0 < a \le 1$ 时，级数发散； - 当 $a > 1$ 时，级数收敛。
**难度：★★★☆☆**
---
**最终答案** （1）发散；（2）发散；（3）收敛；（4）收敛；（5）$0