📝 题目
3．用比值审敛法判定下列级数的收敛性： （1）$\frac{3}{1 \times 2}+\frac{3^{2}}{2 \times 2^{2}}+\frac{3^{3}}{3 \times 2^{3}}+\cdots+\frac{3^{n}}{n \times 2^{n}}+\cdots$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} \times n!}{n^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们使用比值审敛法（达朗贝尔判别法）逐题判定。
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### （1） 级数通项为 $$ u_n = \frac{3^n}{n \cdot 2^n} $$ 计算比值极限： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\frac{3^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}}{\displaystyle\frac{3^n}{n 2^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}} \cdot \frac{n 2^n}{3^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{2(n+1)} = \frac{3}{2} > 1 $$ 因此级数发散。
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### （2） 通项 $$ u_n = \frac{n^2}{3^n} $$ 比值极限： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{3 n^2} = \frac{1}{3} < 1 $$ 因此级数收敛。
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### （3） 通项 $$ u_n = \frac{2^n n!}{n^n} $$ 比值极限： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = \frac{2 (n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}} = 2 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^n $$ 取极限： $$ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} = \frac{1}{e} $$ 因此极限值为 $$ \frac{2}{e} < 1 $$ 所以级数收敛。
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### （4） 通项 $$ u_n = n \tan\frac{\pi}{2^{n+1}} $$ 当 $n\to\infty$ 时，$\frac{\pi}{2^{n+1}} \to 0$，利用等价无穷小 $\tan x \sim x$，有 $$ u_n \sim n \cdot \frac{\pi}{2^{n+1}} $$ 考虑比值： $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \sim \frac{(n+1)\frac{\pi}{2^{n+2}}}{n\frac{\pi}{2^{n+1}}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{2} \to \frac{1}{2} < 1 $$ 因此级数收敛。
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**最终答案：** （1）发散；（2）收敛；（3）收敛；（4）收敛。
难度：★★☆☆☆