📝 题目
5．判定下列级数的收敛性： （1）$\frac{3}{4}+2\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+3\left(\frac{3}{4}\right)^{3}+\cdots+n\left(\frac{3}{4}\right)^{n}+\cdots$ ； （2）$\frac{1^{4}}{1!}+\frac{2^{4}}{2!}+\frac{3^{4}}{3!}+\cdots+\frac{n^{4}}{n!}+\cdots$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ ； （5）$\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\cdots+\sqrt{\frac{n+1}{n}}+\cdots$ ； （6）$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2 a+b}+\cdots+\frac{1}{n a+b}+\cdots \quad(a\gt 0, b\gt 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐项判定各小题级数的收敛性。
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### （1） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{3}{4}\right)^n $$ 这是幂级数形式，使用比值判别法： 令 $a_n = n\left(\frac{3}{4}\right)^n$，则 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}}{n\left(\frac{3}{4}\right)^n} = \frac{3}{4} \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = \frac{3}{4} < 1 $$ 因此级数收敛。
**难度：★☆☆☆☆**
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### （2） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4}{n!} $$ 用比值判别法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^4/(n+1)!}{n^4/n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^4}{(n+1)n^4} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^3}{n^4} = 0 < 1 $$ 因此级数收敛。
**难度：★☆☆☆☆**
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### （3） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)} $$ 先化简通项： $$ \frac{n+1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} $$ 解得 $A = \frac12,\ B = \frac12$，即 $$ \frac{n+1}{n(n+2)} = \frac12\left(\frac1n + \frac1{n+2}\right) $$ 而 $\sum \frac1n$ 发散，因此原级数发散（比较判别法）。
**难度：★★☆☆☆**
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### （4） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \sin\frac{\pi}{3^n} $$ 当 $n$ 充分大时，$\sin\frac{\pi}{3^n} \sim \frac{\pi}{3^n}$，因此 $$ 2^n \sin\frac{\pi}{3^n} \sim 2^n \cdot \frac{\pi}{3^n} = \pi \left(\frac{2}{3}\right)^n $$ 而 $\sum \left(\frac{2}{3}\right)^n$ 收敛，故原级数收敛（比较判别法的极限形式）。
**难度：★★☆☆☆**
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### （5） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{1+\frac1n} $$ 由于 $\sqrt{1+\frac1n} \to 1 \neq 0$，通项不趋于零，因此级数发散。
**难度：★☆☆☆☆**
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### （6） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{na+b}, \quad a>0,\ b>0 $$ 通项 $\frac{1}{na+b} \sim \frac{1}{a}\cdot\frac1n$，而调和级数发散，因此原级数发散（比较判别法）。
**难度：★☆☆☆☆**
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**最终答案汇总：** （1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）发散 （6）发散
**总难度：★★☆☆☆**